1京都大学 2023年 数学 第1問解答・解説

問1 $1\le x\le4$ では $x>0$ なので $\log(x^2)=2\log x$。原始関数は $$\displaystyle \int 2x^{1/2}\log x\,dx =\frac43x^{3/2}\log x-\frac89x^{3/2},$$ （右辺を微分すると $2\sqrt{x}\log x$ となる）。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)\,dx &=\left[\frac43x^{3/2}\log x-\frac89x^{3/2}\right]_1^4\\ &=\frac{32}{3}\log4-\frac{56}{9} =\boxed{\frac{64}{3}\log2-\frac{56}{9}}. \end{aligned}$$

問2 $D(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ とおくと $$(x-1)D(x)=x^5-1.$$ したがって $D(x)$ で割った余りを考えるとき $x^5\equiv1$ であり、 $$x^{2023}-1=(x^5)^{404}x^3-1\equiv x^3-1\pmod{D(x)}.$$ $x^3-1$ の次数は $D(x)$ の次数より小さいので、求める余りは $\boxed{x^3-1}$。