高知大学 2023年数学第4問解答・解説

1問題

高知大学2023年度第4問

次の問いに答えよ。（100点）

(1) すべての実数 $x$ に対して $\begin{aligned} \sin 3x&=3\sin x-4\sin^{3}x,\\ \cos 3x&=-3\cos x+4\cos^{3}x \end{aligned}$ が成り立つことを、加法定理と2倍角の公式を用いて示せ。

(2) 実数 $\theta$ を、 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$ と $\displaystyle \cos 3\theta=-\frac{11}{16}$ を同時に満たすものとする。このとき、 $\cos\theta$ を求めよ。

(3) (2)の $\theta$ に対して、定積分 $\displaystyle \int_{0}^{\theta}\sin^{5}x\,dx$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad \sin3x=3\sin x-4\sin^3x,\space{}\cos3x=-3\cos x+4\cos^3x\quad$ 。(2) $\quad \cos heta=1/4\quad$ 。(3) $\displaystyle \quad \int_0^ heta\sin^5x\,dx=1503/5120\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

**(1)** 加法定理で $\sin(2x+x)$ を展開すると $\sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x.$ $\sin2x=2\sin x\cos x$ 、 $\cos2x=1-2\sin^2x$ と $\cos^2x=1-\sin^2x$ を使えば $\sin3x=2\sin x(1-\sin^2x)+(1-2\sin^2x)\sin x=3\sin x-4\sin^3x.$ 同様に $\begin{aligned} \cos3x&=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x\\ &=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x =4\cos^3x-3\cos x. \end{aligned}$

**(2)** $c=\cos\theta$ とおく。(1)と $\cos3\theta=-11/16$ より $64c^3-48c+11=0=(4c-1)(16c^2+4c-11).$ 根は $c=1/4$ および $c=(-1\pm3\sqrt5)/8$ 。後者はそれぞれ約 $0.7135,-0.9635$ である。一方 $\pi/3<\theta<\pi/2$ なので $0<\cos\theta<1/2$ 。この範囲に入る根は $1/4$ のみである。

**(3)** $\cos\theta=1/4$ と区間から $\sin\theta=\sqrt{15}/4$ 。 $u=\cos x$ と置換すると $\displaystyle \int\sin^5x\,dx=-\int(1-u^2)^2du=-u+\frac23u^3-\frac15u^5+C.$ よって $G(x)=-\cos x+(2/3)\cos^3x-(1/5)\cos^5x$ とすれば $\displaystyle G(0)=-\frac{8}{15},\qquad G(\theta)=-\frac14+\frac1{96}-\frac1{5120}=-\frac{3683}{15360}.$ 従って $\displaystyle \int_0^\theta\sin^5x\,dx=G(\theta)-G(0)=\frac{4509}{15360}=\frac{1503}{5120}.$

この問題で使う考え方

加法定理・2倍角の公式
因数定理と根の絞り込み
置換積分

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