3高知大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$a_n=2+(n-1)d,\ b_n=4r^{n-1}$ であり、$\displaystyle c_n=\max(a_n,b_n)$ である。

(1) $a_3=3$ とすると $d=1/2$ となり $a_4=7/2>3$ で矛盾する。したがって $b_3=3$、すなわち $4r^2=3$ で、$r>0$ より $r=\sqrt3/2$。このとき $b_4=3\sqrt3/2<3$ だから $c_4=3$ を満たすには $a_4=3$ が必要で、$2+3d=3$ より $d=1/3$。また $a_3=8/3<3$ なので条件を満たす。

(2) $a_n=2-(n-1)/64,\ b_n=2^{3-n}$。$n=128$ では $a_{128}=1/64>b_{128}=2^{-125}$。一方 $n=129$ で $a_{129}=0<b_{129}$ となり、その後も $a_n$ は減少し $b_n>0$ なので再び $a_n\ge b_n$ とはならない。最大の $n$ は $128$。

(3) $a_k=9k-7,\ b_k=2^{k+1}$。$k=1,2,3$ では $c_k=4,11,20$、$k=4$ では $c_4=32$。$b_4-a_4=3>0$ で、差 $b_{k+1}-a_{k+1}-(b_k-a_k)=2^{k+1}-9>0$ は $k\ge4$ で成り立つから、$k\ge4$ では $c_k=2^{k+1}$。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}c_k= \begin{cases} 4& (n=1),\\ 15& (n=2),\\ 35& (n=3),\\ 2^{n+2}+3& (n\ge4). \end{cases}$$

各数列を一般項で表し、最大値の切替条件を不等式で確定した。特に(2)は n=128 と129を比較し、以後再び条件を満たさないことを単調性で確認。(3)では指数項が線形項を上回る差が以後増加する。