1滋賀医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

図のように3つの頂点 $A,B,C$ が線分でつながっている。

この図形の上を点 $P$ が次の規則に従って動く。以下、$n$ は0以上の整数である。　 ・時刻0に点 $P$ は頂点 $A$ にいる。　 ・時刻 $n$ に点 $P$ が頂点 $A$ にいる場合、時刻 $n+1$ において、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で頂点 $A$ にとどまっているか、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で頂点 $B$ に移動している。　 ・時刻 $n$ に点 $P$ が頂点 $B$ にいる場合、時刻 $n+1$ において、確率 $\displaystyle \frac{1}{3}$ で頂点 $B$ にとどまっているか、確率 $\displaystyle \frac{1}{3}$ で頂点 $A$ に移動しているか、確率 $\displaystyle \frac{1}{3}$ で頂点 $C$ に移動している。　 ・時刻 $n$ に点 $P$ が頂点 $C$ にいる場合、時刻 $n+1$ において、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で頂点 $C$ にとどまっているか、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で頂点 $B$ に移動している。　 時刻 $n$ に点 $P$ が頂点 $A,B,C$ にいる確率をそれぞれ $a_{n},b_{n},c_{n}$ とする。

(1) $a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}$ を、$a_{n},b_{n},c_{n}$ を用いて表せ。

(2) (1)の結果と $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$ を利用して、$b_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(3) $p_{n}=2^{n}a_{n}$ とおく。$p_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(4) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_{n},\quad\lim\limits _{n\to\infty}b_{n},\quad\lim\limits _{n\to\infty}c_{n}$ を求めよ。