4滋賀医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$g(x)=e^x-ax-b$ とおき、2交点の $x$ 座標を $u<v$ とする。$0\le u<v\le1$ を満たす。

(1) $g(u)=g(v)=0$ より $a=(e^v-e^u)/(v-u)>0$。

(2) 指数関数の平均変化率は端点の値の間にあるので $e^u<a<e^v$。$b=e^u-ua$ である。$u=0$ なら $b=1$。$u>0$ なら $u<1$ で、$a<e^v$ より $ua/e^u<u e^{v-u}\leq u e^{1-u}<1$。最後は $h(t)=t e^{1-t}$ が $0<t<1$ で増加し $h(1)=1$ であることによる。したがって $b>0$。

(3) $c=\ln a$ とおくと $e^u<a<e^v$ より $u<c<v$、特に $0<c<1$。$g'(x)=e^x-a$ なので $g$ は $0\le x\le c$ で減少し $c\le x\le1$ で増加する。$g$ は $u,v$ で0となるため、$|g|$ の最大値を取る候補は $0,c,1$ のみである。最大を与える $x$ が3個なので、3点すべてで同じ正の値 $M$ を取る。両端では $g$ が正だから $1-b=M=e-a-b$ となり $a=e-1$。中央では $M=-g(c)=b-a(1-\ln a)$。これを $1-b$ と等しくすると $b=[1+a(1-\ln a)]/2=[e-(e-1)\ln(e-1)]/2$。

この値が条件を実際に満たすことも確認する。$a=e-1$ は $1<a<e$ を満たし、$c=\ln a$ は $0<c<1$。$q(t)=t(1-\ln t)$ とおくと、$t>1$ で $q'(t)=-\ln t<0$。ゆえに $0<q(a)<1$ で $M=(1-q(a))/2>0$。求めた $b=(1+q(a))/2$ により $g(0)=g(1)=M$、$g(c)=-M$。$g$ は $0\le x\le c$ で減少し $c\le x\le1$ で増加するため、零点は各区間に1個ずつあり、$|g|$ の最大点はちょうど $0,c,1$ の3個。

(4) $g''(x)=e^x>0$ だから $g$ は下に凸である。区間 $0\le x\le c$ ではグラフは端点 $(0,M),(c,-M)$ を結ぶ弦より内点で真に下にある。この弦の積分は区間長に端点高さの平均を掛けたもので0だから $\displaystyle \int_0^c g(x)\,dx<0$。同様に $c\le x\le1$ でも弦の端点高さが $-M,M$ なので $\displaystyle \int_c^1 g(x)\,dx<0$。従って $\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx-\int_0^1(ax+b)\,dx=\int_0^1g(x)\,dx<0$。これで求める不等式（実際には厳密不等式）が従う。

$g(x)=e^x-ax-b$ とおき、2交点の$x$座標を $u<v$ とする。$0\leq u<v\leq1$を満たす。

(1) $g(u)=g(v)=0$ より $\displaystyle a=\frac{e^v-e^u}{v-u}>0$。

(2) 指数関数の平均変化率は端点の値の間にあるので $e^u<a<e^v$。$b=e^u-ua$ である。$u=0$なら $b=1$。$u>0$なら $u<1$ で、$a<e^v$ より $\displaystyle \frac{ua}{e^u}<u e^{v-u}\leq u e^{1-u}<1$。最後は $h(t)=t e^{1-t}$ が$0<t<1$で増加し $h(1)=1$であることによる。したがって $b>0$。

(3) $c=\ln a$ とおくと $e^u<a<e^v$ より $u<c<v$、特に$0<c<1$。$g'(x)=e^x-a$ なので g は$0\leq x\leq c$で減少し$c\leq x\leq1$で増加する。gはu,vで0となるため、$|g|$の最大値を取る候補は$0,c,1$のみである。最大を与えるxが3個なので、3点すべてで同じ正の値$M$を取る。両端では g が正だから $1-b=M=e-a-b$ となり $a=e-1$。中央では $M=-g(c)=b-a(1-\ln a)$。これを1−bと等しくすると $\displaystyle b=\frac{1+a(1-\ln a)}{2}=\frac{e-(e-1)\ln(e-1)}{2}$。

この値が条件を実際に満たすことも確認する。$a=e-1$は$1<a<e$を満たし、$c=\ln a$は$0<c<1$。$q(t)=t(1-\ln t)$ とおくと、$t>1$で $q'(t)=-\ln t<0$。ゆえに$0<q(a)<1$で $\displaystyle M=\frac{1-q(a)}{2}>0$。求めた$\displaystyle b=\frac{1+q(a)}{2}$により $g(0)=g(1)=M$、$g(c)=-M$。gは$0\leq x\leq c$で減少し$c\leq x\leq1$で増加するため、零点は各区間に1個ずつあり、$|g|$の最大点はちょうど$0,c,1$の3個。

(4) $g''(x)=e^x>0$ だからgは下に凸である。区間$0\leq x\leq c$ではグラフは端点$(0,M),(c,-M)$を結ぶ弦より内点で真に下にある。この弦の積分は区間長に端点高さの平均を掛けたもので0だから $\displaystyle \int_0^c g(x)\,dx<0$。同様に$c\leq x\leq1$でも、弦の端点高さが$-M,M$なので $\displaystyle \int_c^1 g(x)\,dx<0$。従って $\displaystyle \int_0^1e^x\,dx-\int_0^1(ax+b)\,dx=\int_0^1g(x)\,dx<0$。これで求める不等式（実際には厳密不等式）が従う。