4岡山大学 2022年 数学 第4問解答・解説

・ 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1-x}-\log(1-x)+\frac{x}{1-x} =-\frac{x}{1+x}-\log(1-x).$$ ここで $\varphi(x)=-\log(1-x)-x$ とおくと、$\varphi(0)=0$、$\displaystyle \varphi'(x)=\frac{x}{1-x}$ である。$-1<x<0$ では $\varphi'(x)<0$ だから $\varphi(x)>\varphi(0)=0$、$0<x<1$ では $\varphi'(x)>0$ だから $\varphi(x)>\varphi(0)=0$ である。したがって $\varphi(x)\geq0$ であり、 $$\displaystyle f'(x)=\varphi(x)+\frac{x^2}{1+x}\geq0$$ を得る。等号は $x=0$ のときに限る。

・ $f(0)=0$ であり、(1)より $x\ne0$ なら $f'(x)>0$ である。$x>0$ のとき、平均値の定理により$0<c<x$ を満たす $c$ が存在して $f(x)-f(0)=xf'(c)>0$。よって $f(x)>0$。$x<0$ のとき、$x<c<0$ を満たす $c$ が存在して $f(0)-f(x)=(-x)f'(c)>0$。よって $f(x)<0$。いずれも $f(x)/x>0$ である。

・ $\displaystyle t=\frac1n$ とおくと $\displaystyle 0<t\leq\frac12$ である。(2)から $f(t)>0$ なので $$\log(1-t^2)-t\log(1-t)>0.$$ $nt=1$ より $n\log(1-t^2)>\log(1-t)$。指数関数は増加するから $(1-t^2)^n>1-t$ である。 また (2)から $f(-t)<0$ である。対数の性質を用いると $$f(-t)=\log(1-t^2)+t\log(1+t) =\log(1-t)+(1+t)\log(1+t)<0.$$ ここで $t=1/n$ だから、両辺に $n>0$ を掛けて $$n\log(1-t)+(n+1)\log(1+t)<0.$$ これは $(n+1)\log(1-t^2)<\log(1-t)$ と同値である。指数関数は増加するから $(1-t^2)^{n+1}<1-t$ である。最後に $t=1/n$ を代入すると $$\displaystyle \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n+1}<\frac{n-1}{n}<\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n$$ を得る。

補助関数$\varphi(x)=-\log(1-x)-x$の増減を左右の区間で調べて$f'$の符号を得る。平均値の定理で$\displaystyle \frac{f(x)}x>0$を示し、$\displaystyle x=\pm\frac1n$に適用して求める二側不等式を導く。