鳥取大学 2020年数学第IV問解答・解説

1問題

鳥取大学2020年度第IV問

次の条件で定められる数列を $\{a_{n}\}$ とする。 $a_{1}=0,\qquad a_{n+1}=\log(a_{n}+2)\quad(n=1,2,3,\ldots)$ 以下の問いに答えよ。　 (1) 方程式 $\log(x+2)=x$ が2個の実数解 $b,c\ (b<c)$ を持つことを示し， $m\leq b<m+1$ ， $n\leq c<n+1$ を満たす整数 $m,n$ を求めよ。ただし，自然対数の底 $e$ について， $\displaystyle \frac{5}{2}<e<3$ が成り立つことを用いてよい。　 (2) 実数 $s,t$ が $-2<s<t$ を満たすとき， $\displaystyle \frac{\log(t+2)-\log(s+2)}{t-s}$ と $\displaystyle \frac{1}{s+2}$ の大小関係を調べよ。　 (3) $c$ は(1)で定義した数とする。 $\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}-c}{a_{n}-c}\right|$ と $\displaystyle \frac{1}{2}$ の大小関係を調べよ。　 (4) $c$ は(1)で定義した数とする。 $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_{n}=c$ であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解答 $h(x)=\log(x+2)-x$ とすると $h'(x)=-(x+1)/(x+2)$ 。 $h$ は $-2<x<-1$ で増加し、 $x>-1$ で減少する。 $h(-2+0)=-\infty$ , $h(-1)=1>0$ なので左側に唯一の根 $b$ がある。さらに $e<3$ より $h(1)=\log3-1>0$ 、 $e>5/2$ より $h(2)=\log4-2<0$ 。右側の根 $c$ は $1<c<2$ 。したがって整数は $m=-2,n=1$ 。

(2) $-2<s<t$ なら $u>s$ で $1/(u+2)<1/(s+2)$ 。積分して差商は $1/(s+2)$ より小さい。

(3) $0\le a_n<c$ は初項と $x\mapsto\log(x+2)$ の単調性から帰納的に成り立つ。(2)を $s=a_n,t=c$ に適用すると $\displaystyle 0<\left|\frac{a_{n+1}-c}{a_n-c}\right|<\frac1{a_n+2}\le\frac12.$ したがって誤差は各段階で半分未満になり、 $0<c-a_n<(c-a_1)/2^{n-1}\to0$ 。よって $a_n\to c$ 。

編集ラベル - 単元: 数学II・対数関数、数学B・数列と極限 - 方法: 導関数による単調性、差商の積分表示、誤差の幾何級数評価 - テーマ: 対数写像の固定点への反復収束

独立検算・対象範囲

原文から独立に確認した。g(x)=log(x+2)-x は (-2,-1) で増加し (-1,infinity) で減少するため、両端の極限と g(-1)>0 から根が各区間に1つずつある。許された e の評価で大きい根は 1<c<2。差商は平均値の定理で 1/(xi+2) (s<xi<t) と表せ、左端の導関数より小さい。さらに 0≦a_n<c を帰納し、 $s=a_n,t=c$ として誤差比を 1/(a_n+2)≦1/2 で抑えるので、解答の結論は一致する。

この問題で使う考え方

増減と中間値
平均値の定理
誤差の縮小評価

1問題

2解答

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