III鳥取大学 2020年 数学 第III問解答・解説

(1) 半円の円の中心を $O(0,a)$ とし、求める円の半径を $r=f(x)$ とする。$x>0$ では中心 $P(x,r)$ は $x$ 軸の上にあるので $r>0$。外接する2円では中心間の距離が半径の和だから $$OP=a+r,\qquad x^2+(r-a)^2=(a+r)^2.$$ 両辺を展開して $x^2=4ar$。$a>0$ より $$\displaystyle f(x)=r=\frac{x^2}{4a}\quad(x>0).$$ $x=0$ は半径0の退化端点であり、曲線は $f(0)=0$ と連続に延長できる。逆に $x>0$ ならこの半径は正で、上の距離条件を満たすので、求める円が得られる。

(2) 半円の下側の弧を $$g(x)=a-\sqrt{a^2-x^2}\qquad(0\le x\le a)$$ とおく。これを有理化すると $$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{a+\sqrt{a^2-x^2}}.$$ $0\le x\le a$ では分母は $2a$ 以下なので、$x>0$ なら $$\displaystyle g(x)\ge\frac{x^2}{2a}>\frac{x^2}{4a}=f(x).$$ 従って領域では下側が $f(x)$、上側が $g(x)$ である。面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^a\{g(x)-f(x)\}\,dx\\ &=\int_0^a\left(a-\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{4a}\right)dx\\ &=a^2-\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{12} =\frac{11-3\pi}{12}a^2. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\pi a^2/4$ は半径 $a$ の四分円の面積である。

(3) この領域を $x$ 軸の周りに回すと、各 $x$ で外半径 $g(x)$、内半径 $f(x)$ の円環ができる。断面積が $\pi\{g(x)^2-f(x)^2\}$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^a\{g(x)^2-f(x)^2\}\,dx\\ &=\pi\int_0^a\left\{2a^2-x^2-2a\sqrt{a^2-x^2} -\frac{x^4}{16a^2}\right\}dx\\ &=\pi\left(2a^3-\frac{a^3}{3}-\frac{\pi a^3}{2} -\frac{a^3}{80}\right)\\ &=\frac{397-120\pi}{240}\pi a^3. \end{aligned}$$ 第2行は $$g(x)^2=(a-\sqrt{a^2-x^2})^2=2a^2-x^2-2a\sqrt{a^2-x^2}$$ を用いた。また、各項の積分は $$\displaystyle \int_0^a x^2\,dx=\frac{a^3}{3},\qquad \int_0^a x^4\,dx=\frac{a^5}{5},\qquad \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{4}.$$