II関西医科大学 2020年 数学 第II問解答・解説

(1) 交点では $x^2+k^2(1-x^2)^2=2$。$u=1-x^2$ とおくと $$k^2u^2-u-1=0.$$ この方程式の根は一つが負、もう一つが正である。負の根に対応する $x^2=1-u$ は1より大きく、これから異なる2点を得る。正の根 $u_+$ に対しても異なる2点を得るには $u_+<1$ が必要十分である。二次式 $F(u)=k^2u^2-u-1$ は $F(0)=-1$ であり、正の根が1未満となる条件は $F(1)=k^2-2>0$。$k>0$ より $k>\sqrt2$。等号なら $x=0$ の一点となり、4点は異ならない。 　 (2) 交点の $y$ 座標は、$x^2=2-y^2$ と放物線の式から $$y=k(y^2-1),\qquad ky^2-y-k=0$$ を満たす。根を $$\displaystyle y_+=\frac{1+\sqrt{1+4k^2}}{2k}>0,\qquad y_-=\frac{1-\sqrt{1+4k^2}}{2k}<0$$ とする。$x^2=2-y^2=1-y/k$ なので、$a=\sqrt{1-y_+/k}$, $b=\sqrt{1-y_-/k}$ とおけば $0<a<1<b$。従って $x$ の小さい順は $$P=(-b,y_-),\quad Q=(-a,y_+),\quad R=(a,y_+),\quad S=(b,y_-).$$ 対称性から直線 $PQ$ と $RS$ の交点 $T$ は $y$ 軸上にある。下で求める $t=k+\sqrt{k^2-2}>k>\sqrt2$ より $T=(0,t)$ は円の上方にある。図示すると、円 $C$ は原点中心で、放物線 $D$ は頂点 $(0,k)$、x切片 $\pm1$ をもつ下向きの曲線であり、左右対称な内側の上側交点が $Q,R$、外側の下側交点が $P,S$、二直線の交点はその上方の $y$ 軸上の $T$ である。

$k>\sqrt2$ の配置を示す図（描画には $k=2$ を用いた）。 $P,Q,R,S$ は左からこの順であり、$T$ は放物線の頂点より上にある。

(3) (2)の二次方程式の解と係数の関係から $$\displaystyle y_1+y_2=y_-+y_+=\frac1k,\qquad y_1y_2=y_-y_+=-1.$$ 　 (4) $T$ は円の外部にあり、直線 $TPQ$ は円との交点が $P,Q$ である。円 $C$ の半径は $\sqrt2$、$OT=t$ なので、点 $T$ の方べきより $$PT\cdot QT=OT^2-(\sqrt2)^2=t^2-2.$$ 　 (5) $a,b$ を(2)の通りとする。直線 $PQ$ の傾きは $$\displaystyle \frac{y_+-y_-}{b-a}=k(a+b),$$ なぜなら $b^2-a^2=(y_+-y_-)/k$ だからである。従ってそのy切片は $$t=y_-+kb(a+b)=y_-+kb^2+kab=k(1+ab),$$ ここで $kb^2=k-y_-$ を用いた。また $$\displaystyle a^2b^2=\left(1-\frac{y_+}{k}\right)\left(1-\frac{y_-}{k}\right) =1-\frac{y_++y_-}{k}+\frac{y_+y_-}{k^2}=1-\frac2{k^2}.$$ $a,b>0$ より $ab=\sqrt{1-2/k^2}$、したがって $$\displaystyle t=k\left(1+\sqrt{1-\frac2{k^2}}\right)=k+\sqrt{k^2-2}.$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}\frac tk=\lim\limits _{k\to\infty}\left(1+\sqrt{1-\frac2{k^2}}\right)=2.$$