III関西医科大学 2020年 数学 第III問解答・解説

全体の並べ方は、同じ「イ」の2枚と同じ「ワ」の2枚を区別しないので $$\displaystyle \frac{6!}{2!2!}=180$$ 通りである。以下、左から「レイワ」が続く事象を $A$、右から「ヘイワ」が続く事象を $B$ とする。事象 $B$ は左から読むと「ワイヘ」が続くことと同じである。

(1) 「レイワ」を一つのまとまりとみると、残りは「ヘ」「イ」「ワ」であり、これら4個の並べ方は $4!=24$ 通り。従って $$\displaystyle P(A)=\frac{24}{180}=\frac{2}{15}.$$

(2) 「ワイヘ」を一つのまとまりとすれば、同様に $4!=24$ 通りである。よって $$\displaystyle P(\overline B)=1-\frac{24}{180}=\frac{13}{15}.$$

(3) $A$ と $B$ が同時に起こる並べ方を数える。「レイワ」と「ワイヘ」の3枚ずつのまとまりは、同じ「ワ」を共有して重なることができる。そのときの並べ方は「レイワイヘワ」「ワレイワイヘ」の2通りである。また、二つのまとまりが重ならないときは6枚全てを使い、「レイワワイヘ」「ワイヘレイワ」の2通りである。従って共通部分は4通りであり、 $$\displaystyle P(A\cap B)=\frac4{180}=\frac1{45}.$$

(4) 求める事象は $A\cap\overline B$ なので $$\displaystyle P(A\cap\overline B)=P(A)-P(A\cap B) =\frac{24-4}{180}=\frac19.$$

(5) 包含排除より $$\displaystyle P(\overline A\cap\overline B)=1-P(A\cup B) =1-\frac{24+24-4}{180}=\frac{34}{45}.$$

(6) 条件付き確率の定義を用いると $$\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{4/180}{24/180}=\frac16.$$