4千葉大学 2013年 数学 第4問解答・解説

全事象は9枚のカードの順列なので、その総数は9!である。

(1) 1と2が隣り合う場合は、1と2を一つのまとまりとみなすと、8個のものの並べ方が8!通りあり、まとまりの中の順序が2通りある。したがって、条件(A)の確率は $$\displaystyle 1-\frac{2\cdot 8!}{9!}=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}.$$

(2) 8と9の位置の差が2となる位置の組は、先頭側の位置を1から7まで選ぶ7通りである。各組で8と9の順序は2通り、残り7枚の並べ方は7!通りだから、 $$\displaystyle P(B)=\frac{7\cdot 2\cdot 7!}{9!} =\frac{14}{9\cdot 8} =\frac{7}{36}.$$

(3) まず条件(B)を満たす配置数は14$\cdot$ 7!である。このうち1と2も隣り合う配置を数える。8と9が位置 i と i+2 にあるとき、1と2を置ける隣接位置の組の数は、i=1で5組、i=2,3,4,5,6で各4組、i=7で5組である。合計は $$5+5\cdot 4+5=30$$ 組となる。各組への1と2の置き方が2通り、8と9の順序が2通り、残り5枚の並べ方が5!通りなので、(B)を満たし、かつ1と2が隣り合う配置数は $$30\cdot 2\cdot 2\cdot 5!=14400.$$ よって(A),(B)を同時に満たす配置数は $$14\cdot 7!-14400=56160,$$ したがって求める確率は $$\displaystyle \frac{56160}{9!}=\frac{13}{84}.$$