5千葉大学 2013年 数学 第5問解答・解説

放物線を $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{4}$ とすると、$\displaystyle f'(x)=\frac{x}{2}$ だから、点 $\displaystyle T_t=(t,\frac{t^2}{4})$ における接線は $\displaystyle y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$、法線は $\displaystyle y=-\frac{2}{t}x+2+\frac{t^2}{4}$ である。接線の傾きが直交条件を満たすので $\displaystyle \frac a2\cdot\frac b2=-1$。したがって $ab=-4$、$\displaystyle b=-\frac4a$。

接線 $\ell_A,\ell_B$ の交点では $\displaystyle \frac a2x-\frac{a^2}{4}=\frac b2x-\frac{b^2}{4}$ より $\displaystyle x=\frac{a+b}{2}$、$\displaystyle y=\frac{ab}{4}=-1$。よって $\displaystyle P=(\frac{a+b}{2},-1)=(\frac{a^2-4}{2a},-1)$。

法線の交点では $\displaystyle -\frac2a x+2+\frac{a^2}{4}=-\frac2b x+2+\frac{b^2}{4}$ より $\displaystyle x=-\frac{ab(a+b)}8=\frac{a+b}{2}$。これを法線 $n_A$ に代入すると $\displaystyle y=1-\frac ba+\frac{a^2}{4}=1+\frac4{a^2}+\frac{a^2}{4}$。したがって $\displaystyle Q=(\frac{a^2-4}{2a},1+\frac{a^2}{4}+\frac4{a^2})$。

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{b-a}{2}(1,\frac a2)$、$\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{b-a}{2}(1,-\frac2a)$ であり、その内積は $0$。長方形の隣り合う辺の長さは $\displaystyle |AP|=\frac{|b-a|\sqrt{a^2+4}}4$、$\displaystyle |AQ|=\frac{|b-a|\sqrt{a^2+4}}{2a}$ だから、面積は $\displaystyle \frac{(b-a)^2(a^2+4)}{8a}=\frac18( a+\frac4a)^3$。

$a>0$ より相加相乗平均から $\displaystyle a+\frac4a\ge 2\sqrt4=4$。等号は $a=2$ のときであり、面積の最小値は $\displaystyle \frac{4^3}{8}=8$。