1新潟大学 2002年 数学 第1問解答・解説

放物線上の点を媒介変数 $t$ を用いて $T(t)=(t,t^2/2)$ と表す。この点における接線の傾きは $y'=x$ より $t$ である。$Q=T(b)$ とすると、接線が直交する条件は $ab=-1$ だから $b=-1/a$ である。したがって $Q=(-1/a,1/(2a^2))$。

$P,Q$ を通る直線の傾きは $(a+b)/2$ であり、その切片は $-ab/2$ である。よって $l$ は $y=(a+b)x/2-ab/2$。$b=-1/a$ を代入すると $y=(a^2-1)x/(2a)+1/2$。

$b=-1/a<a$ であり、$b\le x\le a$ の範囲ではこの弦が放物線の上側にある。差は $y_l-x^2/2=(a-x)(x-b)/2$ なので、 $$\displaystyle S(a)=\int_b^a\frac{(a-x)(x-b)}2\,dx=\frac{(a-b)^3}{12}=\frac1{12}\left(a+\frac1a\right)^3.$$

$a>0$ より $a+1/a-2=(a-1)^2/a\ge0$。したがって $S(a)\ge 8/12=2/3$ で、等号は $a=1$ のときに成立する。