3新潟大学 2002年 数学 第3問解答・解説

$$\Delta=(k-1)^2-4(3k-2)=(k-7)^2-40.$$ よって $f(x)=0$ が非実数解をもつのは $$7-2\sqrt{10}<k<7+2\sqrt{10}$$ のときである。$x=u+iv\ (v\ne0)$ を根とすると、虚部から $k=1-2u$。これを実部に代入すると $$u^2-v^2-2u^2-6u+1=0 \quad\text{と同値な条件は}\quad (u+3)^2+v^2=10.$$ 上の $k$ の区間で $u=(1-k)/2$ は $-3-\sqrt{10}<u<-3+\sqrt{10}$ を動き、共役な二根は円の非実軸部分全体を動く。区間の両端では判別式が0となるため、実軸との交点も含めて円周全体が得られる。 実数根 $x$ は $$k(x+3)=(2-x)(x+1).$$ $x=-3$ は根でない。$x\ne-3$ なら $$\displaystyle k=\frac{(2-x)(x+1)}{x+3}\ge0 \quad\text{と同値な条件は}\quad x<-3\ \text{または}\ -1\le x\le2.$$ 従って解の集合を図示すると、中心 $(-3,0)$、半径 $\sqrt{10}$ の円周と、実軸上の半直線 $x<-3$、線分 $-1\le x\le2$ である。