4新潟大学 2002年 数学 第4問解答・解説

1回の試行で取り出された赤玉の個数を $X$ とする。全体の取り出し方は $$\displaystyle \binom{10}{3}=120$$ 通りである。赤玉が奇数個となるのは1個または3個のときなので $$\displaystyle \begin{aligned} p_1 &=P(X=1)+P(X=3)\\ &=\frac{\binom41\binom62+\binom43\binom60}{\binom{10}{3}} =\frac{60+4}{120} =\frac{8}{15}. \end{aligned}$$ したがって、1回の試行で赤玉が偶数個となる確率は $1-p_1=7/15$ である。

玉を袋に戻してから次の試行をするので、各試行は独立である。$n$ 回目までの合計が奇数である確率は $p_n$、偶数である確率は $1-p_n$ だから、$n+1$ 回目までの合計が奇数となるのは、次のいずれかの場合である。 $$\displaystyle \begin{aligned} p_{n+1} &=(1-p_n)\frac{8}{15}+p_n\frac{7}{15}\\ &=\frac{8}{15}-\frac{p_n}{15}. \end{aligned}$$ これで (2) が得られる。

(3) のために $\displaystyle q_n=p_n-\frac12$ とおくと、(2) より $$\displaystyle q_{n+1}=p_{n+1}-\frac12 =\frac{8}{15}-\frac{p_n}{15}-\frac12 =-\frac1{15}\left(p_n-\frac12\right) =-\frac1{15}q_n.$$ また $$\displaystyle q_1=p_1-\frac12=\frac{8}{15}-\frac12=\frac1{30}.$$ よって $\{q_n\}$ は初項 $1/30$、公比 $-1/15$ の等比数列であり、 $$\displaystyle q_n=\frac1{30}\left(-\frac1{15}\right)^{n-1} =\frac{(-1)^{n-1}}{2\cdot15^n}.$$ したがって $$\displaystyle p_n=\frac12+\frac{(-1)^{n-1}}{2\cdot15^n} =\frac{1-(-1/15)^n}{2}.$$

1回に引いた赤玉の個数が1または3の場合を数え、奇数和・偶数和で漸化式を作る。初項を使い一般項を求める。出典範囲の確認は未解決。