3広島大学 2005年 数学 第3問解答・解説

2枚のコインの結果は同様に確からしく、左右に隣の頂点へ移る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{4}$、駒を動かさない確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$である。　 (1) 2回後にAにいるのは、2回とも動かない場合、または1回目と2回目に逆向きに1辺ずつ移動する場合である。よって$$\displaystyle P_2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+2\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{8}.$$　 (2), (3) まず$X_1\ne A$となる確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$である。駒がBまたはCにあるとき、次の試行後もA以外にいる確率は、同じ頂点に留まる確率ともう一方の非A頂点へ移る確率の和で$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$である。また、BまたはCから次にAへ移る確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である。したがって、$X_1,\ldots,X_{n-1}$がすべてA以外で、最後に$X_n=A$となる確率は$$\displaystyle Q_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}\quad(n\geq2).$$ 特に$\displaystyle Q_4=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{128}$。　 (4) 対称性により、$n$回後にBにいる確率とCにいる確率は等しい。$P_n$をAにいる確率とすると、それぞれ$\displaystyle \frac{1-P_n}{2}$である。次の試行でAにいる確率は、Aから動かない場合とBまたはCからAへ移る場合を合わせて$$\displaystyle P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{4}\frac{1-P_n}{2}+\frac{1}{4}\frac{1-P_n}{2}=\frac{1}{4}P_n+\frac{1}{4}.$$ 初めの位置を$X_0=A$と置けば$P_0=1$であり、上の漸化式から$$\displaystyle P_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\left(P_n-\frac{1}{3}\right).$$ よって$$\displaystyle P_n-\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\left(1-\frac{1}{3}\right),\quad P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n\quad(n\geq2).$$