6京都大学 2004年 数学 第6問解答・解説

第$k$回の操作後の赤玉は、箱$1,\ldots,k,N+1$のどれかにある。これは、初め赤玉は箱$N+1$にあり、操作$k\le N$の前には赤玉が箱$k$にないので、赤玉を含む箱が選ばれた場合だけ箱$k$に移ることから、順に確かめられる。

第$k$回後に赤玉が箱$N+1$にある確率を$p_k$とする。$k\le N$では、他の箱から箱$N+1$へ赤玉が戻ることはない。赤玉が箱$N+1$にあった場合、選ぶ$N$箱のうちこの箱を避ければそのまま残る。したがって $$\displaystyle p_0=1,\qquad p_k=\left(1-\frac1N\right)p_{k-1},\qquad p_N=\left(1-\frac1N\right)^N.$$ 最後の操作で、赤玉が箱$N+1$にあれば必ず外へ移る。そうでなければ赤玉の箱を選ぶ確率$1/N$で箱$N+1$へ移る。求める確率は $$\displaystyle P=\frac{1-p_N}{N}=\frac{1-(1-1/N)^N}{N}.$$ $N=1$のときも、2回の交換で元に戻り$P=1$となって式に一致する。