慶應義塾大学／2001年度／医

慶應義塾大学 2001年数学第II問解答・解説

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1問題

慶應義塾大学2001年度第II問

設問（1），（2）では，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また，設問（3）に答えなさい。

数直線上の点の集合 $S=\{-2,-1,0,1,2\}$ 上を，2つの粒子 $A,B$ が次のように運動する。

粒子 $A$ は，時刻0において点1を占めている。その後，1秒ごとに確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ずつで数直線上を正の方向か負の方向に1だけ移動する。ただし，粒子 $A$ が点2を占めた場合は，1秒後には必ず点1に移動し，点 $-2$ を占めた場合は，1秒後には必ず点 $-1$ に移動する。

一方，粒子 $B$ は，時刻0において点 $-1$ を占めている。その後，粒子 $A$ とは独立に，粒子 $A$ の運動と同じ確率的規則に従って $S$ 上を運動する。

以下， $n,m$ を自然数とする。

(1) 粒子 $A$ が，時刻 $n$ （秒）において点1を占める確率を $q_n$ で表すと， $q_1=0$ ， $q_2=\boxed{\text{あ}}$ ， $q_3=\boxed{\text{い}}$ ， $q_4=\boxed{\text{う}}$ であり，一般に， $q_{2m-1}=\boxed{\text{え}},\qquad q_{2m}=\boxed{\text{お}}$ である。

(2) 2つの粒子 $A,B$ が，時刻 $n$ （秒）においてともに点1を占める確率を $Q_n$ で表すと， $Q_{2m-1}=\boxed{\text{か}},\qquad Q_{2m}=\boxed{\text{き}}$ である。

(3) 2つの粒子 $A,B$ が，ともに点0を占める初めての時刻が $n$ （秒）である確率を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

有限状態のランダムウォークを偶奇分解し、2秒ごとの遷移確率と独立性で計算した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad &q_2=\frac34,\quad q_3=0,\quad q_4=\frac58,\quad q_{2m-1}=0,\quad q_{2m}=\frac{1+2^{-m}}2;\\ \text{(2)}\quad &Q_{2m-1}=0,\quad Q_{2m}=\frac{1-4^{-m}}4;\\ \text{(3)}\quad &P(T=n)=\begin{cases}\frac14(\frac34)^{(n-1)/2}&n\text{が奇数},\\0&n\text{が偶数}.\end{cases} \end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 1秒ごとに位置の偶奇が入れ替わるため、奇数時刻には粒子Aは偶数位置にあり、 $q_{2m-1}=0$ 。2秒ごとに見ると、Aが $1$ にいる場合は $(3/4,1/4)$ の確率で $(1,-1)$ へ移り、 $-1$ にいる場合は $(1/4,3/4)$ の確率で $(1,-1)$ へ移る。 $r_m=q_{2m}$ 、 $r_0=1$ とおけば $\displaystyle r_{m+1}=\frac34r_m+\frac14(1-r_m)=\frac12r_m+\frac14.$ この漸化式は $\displaystyle r_m=\frac12+2^{-m-1}=\frac{1+2^{-m}}2$ を与える。従って $q_2=3/4,q_3=0,q_4=5/8$ 。

(2) Bは $-1$ から出発する。同じ2秒ごとの遷移を用いて $p_m=P(B_{2m}=1)$ とおくと、 $p_0=0$ かつ $p_{m+1}=p_m/2+1/4$ なので $p_m=(1-2^{-m})/2$ 。奇数時刻には1にいない。A,Bの運動は独立だから $\displaystyle Q_{2m}=q_{2m}p_m=\frac{1+2^{-m}}2\cdot\frac{1-2^{-m}}2=\frac{1-4^{-m}}4,$ また $Q_{2m-1}=0$ 。

(3) 両粒子が0になり得るのは奇数時刻だけである。偶数時刻には各粒子は $-1$ または $1$ にあり、次の1秒で0に移る確率はそれぞれ $1/2$ 。独立性より、各奇数時刻に両方が0となる条件付き確率は常に $1/4$ 、そうならない確率は $3/4$ である。最初の同時到達時刻を $T$ とすると、 $n=2m+1$ では最初の $m$ 回の機会を逃して次に到達するので $\displaystyle P(T=2m+1)=\left(\frac34\right)^m\frac14.$ 偶数時刻には到達できないから $P(T=n)=0$ （ $n$ 偶数）。

この問題で使う考え方

確率の基本法則
条件付き確率
独立な試行
余事象
漸化式

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