I慶應義塾大学 2001年 数学 第I問解答・解説

(1) 両辺は正なので二乗して $$a_n\ge n+1\quad\text{すなわち}\quad n^2+n+5\ge(n+1)^2\quad\text{すなわち}\quad n\le4.$$ また $$\displaystyle a_n-n=\frac{n+5}{\sqrt{n^2+n+5}+n}\longrightarrow\frac12.$$ 十分大きい$n$では$n<a_n<n+1$だから$\langle a_n\rangle=a_n-n$、従って極限は$1/2$。$n\ge5$では同じく小数部分は$g(n)=\sqrt{n^2+n+5}-n$である。実数$x\ge5$に対し $$\displaystyle g'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+5}}-1<0,$$ 最後の不等号は$(2x+1)^2<4(x^2+x+5)$による。よって$n\ge5$では最大は$n=5$で、その値は$\sqrt{35}-5>0.9$。一方$n=1,2,3,4$の小数部分はそれぞれ$\sqrt7-2,\sqrt{11}-3,\sqrt{17}-4,0$で、いずれもこれより小さい。従って最大は$n=5$。非零の小数部分の最小については、$n\ge5$で$g(n)>1/2$（$n^2+n+5>(n+1/2)^2$）である。$n=1,2,3,4$では3番目の$\sqrt{17}-4$が最小である（$\sqrt7-2>\sqrt{17}-4$、$\sqrt{11}-3>\sqrt{17}-4$、かつ$n=4$は0を除外）。よって$n=3$。

(2) $m=\sqrt{n^2+n+34}$を整数と置くと $$(2m)^2-(2n+1)^2=135.$$ したがって正の奇数$p=2m-(2n+1), q=2m+(2n+1)$は$pq=135$、$q-p=4n+2$を満たす。$p<q$となる因数対は$(1,135),(3,45),(5,27),(9,15)$であり、それぞれ$n=(q-p-2)/4=33,10,5,1$。全て自然数で元の式を満たすため、答えは$\{1,5,10,33\}$。