III慶應義塾大学 2001年 数学 第III問解答・解説

まず$B^{-1}=B^T$を用いて行列積を計算すると $$\displaystyle x=\frac{e^t(a-b)+e^{-t}(a+b)}2,\qquad y=\frac{-e^t(a-b)+e^{-t}(a+b)}2.$$ 特に $$x-y=e^t(a-b),\qquad x+y=e^{-t}(a+b).$$

(1) $a\ne b$なら$e^t(a-b)$が支配項となり、$y/x\to-1$。$a=b$なら非零条件から$a=b\ne0$であり、上式は$x=y=ae^{-t}$となるので比は常に1である。

(2) 上の二式を掛けると $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$ ただし軌跡はこの双曲線全体でなく一方の枝である。$a^2>b^2$より$a+b$と$a-b$はともに$a$と同符号なので、$x+y,x-y$も$a$と同符号、従って$ax>0$。逆にこの枝の点なら$e^t=(x-y)/(a-b)>0$と置くことで上の二式を満たす実数$t$が定まり、これが軌跡となる。

(3) $a=\cos\theta,b=\sin\theta$を代入し平方和を整理すると $$\displaystyle x^2+y^2=\frac12\left\{(1-\sin2\theta)e^{2t}+(1+\sin2\theta)e^{-2t}\right\}=:R(t).$$ $s=\sin2\theta$とおくと$-1<s<1$、$R(0)=1$、$R'(0)=-2s$、かつ $$R''(t)=2\{(1-s)e^{2t}+(1+s)e^{-2t}\}>0.$$ $s\le0$なら$R'(0)\ge0$で、$R'$は増加し、$t>0$では$R'(t)>R'(0)\ge0$となるため$R(t)>R(0)=1$。$s>0$なら$R'(0)<0$なので十分小さい正の$t$で$R(t)<1$。従って必要十分条件は$\sin2\theta\le0$。指定区間では$\sin2\theta$と$\theta$の符号が一致するから$-\pi/4<\theta\le0$。

(4) $b=a^2$、$-1<a<1$なので、 $$\displaystyle x=\frac a2\{(1-a)e^t+(1+a)e^{-t}\},\qquad y=\frac a2\{-(1-a)e^t+(1+a)e^{-t}\}.$$ また$x+y=a(1+a)e^{-t}$、$x-y=a(1-a)e^t$より $$x^2-y^2=a^2(1-a^2),\qquad x'=-y.$$ $y\le0$なら$y<x^2$は（$(x,y)\ne(0,0)$より）自動的に成り立つ。$y>0$のときは両辺を二乗してよく、条件は $$x^4-y^2=x^4-x^2+a^2(1-a^2)=(x^2-a^2)(x^2-(1-a^2))>0.$$ まず$a>0$では$x>0$、$t=0$で$x^2=a^2,y=a^2>0$。$y>0$の間は$(x^2)'=-2xy<0$で、$y$は一度0となった後負になる。従って必要十分条件は、$t>0$で$x^2<a^2$が第2因子も負にする$a^2\le1-a^2$、すなわち$a\le1/\sqrt2$。$a=0$は元の$(a,b)\ne(0,0)$に反する。

$a<0$では$x<0,y>0$が全ての$t>0$で成り立ち、$(x^2)'=-2xy>0$なので$x^2>a^2$。従って二因子がともに正となる必要十分条件は$a^2\ge1-a^2$、すなわち$|a|\ge1/\sqrt2$。境界等号でも、$t>0$では$x^2$が厳密に動くため積は正である。$-1<a<1$と合わせて答えは $$\displaystyle -1<a\le-\frac1{\sqrt2}\quad\text{または}\quad0<a\le\frac1{\sqrt2}.$$