1筑波大学 2000年 数学 第1問解答・解説

(1) 微分すると $$f_n'(x)=(n+2)\sin x\cos x\left(\sin^n x-2\cos^n x\right).$$ $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ では $\sin x,\cos x>0$ であり、$\tan x$ は単調増加するので、$f_n'(x)=0$ となる点は $$x_n=\arctan(2^{1/n})$$ ただ一つである。$x<x_n$ では $\tan^n x<2$ より $f_n'(x)<0$、$x>x_n$ では $f_n'(x)>0$。したがって $x_n$ で最小となり、最大値は端点で比べればよい。端点値は $$\displaystyle f_n(0)=2,\qquad f_n\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,$$ なので $M_n=2$ である。最小点では $\sin^n x_n=2\cos^n x_n$ だから $$\begin{aligned} L_n=f_n(x_n) &=\sin^2x_n\sin^n x_n+2\cos^2x_n\cos^n x_n\\ &=2\cos^n x_n(\sin^2x_n+\cos^2x_n) =2\cos^n x_n. \end{aligned}$$ また $\tan x_n=2^{1/n}$ より $$\displaystyle \cos x_n=\frac{1}{\sqrt{1+2^{2/n}}},$$ 従って $$\displaystyle L_n=\frac{2}{(1+2^{2/n})^{n/2}}.$$

(2) この表示から $$\displaystyle \sqrt[n]{L_n}=\frac{2^{1/n}}{\sqrt{1+2^{2/n}}}.$$ $n\to\infty$ で $2^{1/n}\to1$、$2^{2/n}\to1$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sqrt[n]{L_n}=\frac{1}{\sqrt2}.$$