4筑波大学 2000年 数学 第4問解答・解説

$A^2=A$ を成分で比較すると $$a^2+bc=a,\qquad b(a+d)=b,\qquad c(a+d)=c,\qquad bc+d^2=d$$ を得る。

(1)　 $a+d\ne1$ なら、第2式から $b=0$、第3式から $c=0$ である。第1式と第4式はそれぞれ $a^2=a$、$d^2=d$ となるから、$a,d$ はそれぞれ $0$ または $1$ である。さらに $a+d\ne1$ より $(a,d)=(0,0)$ または $(1,1)$ であり、 $$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\quad\text{または}\quad A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

(2)　 行列 $X$ を成分で書けば $$X=\begin{pmatrix}ux&uy\\vx&vy\end{pmatrix}.$$ したがって成分ごとの積から $$X^2=\begin{pmatrix}ux(ux+vy)&uy(ux+vy)\\vx(ux+vy)&vy(ux+vy)\end{pmatrix}.$$ 条件 $ux+vy=1$ を代入すると $X^2=X$ である。

(3)　 $a+d=1$ とする。第1式から $$bc=a-a^2=a(1-a)=ad$$ となるので、 $$d\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ad\\cd\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}bc\\cd\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}.$$ 次に、$A$ を (2) の形に表す。

$a\ne0$ のときは $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\left(1\quad\frac ba\right), \qquad a\cdot1+c\cdot\frac ba=a+\frac{bc}{a}=a+d=1.$$ よって $u=a,\ v=c,\ x=1,\ y=b/a$ とすればよい。

$a=0$ のときは $d=1$ かつ $bc=0$ である。$b=0$ なら $$A=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}(c\quad1), \qquad 0\cdot c+1\cdot1=1.$$ $b\ne0$ なら $c=0$ なので $$A=\begin{pmatrix}b\\1\end{pmatrix}(0\quad1), \qquad b\cdot0+1\cdot1=1.$$ いずれの場合も $A=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}(x\quad y)$ かつ $ux+vy=1$ となり、示された。