4広島大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) 行列積を成分で計算すると $$AB=\begin{pmatrix}4a+2b&2a+b\\4c+2d&2c+d\end{pmatrix}=O$$ である。したがって $b=-2a$、$d=-2c$ となり、 $$abcd=a(-2a)c(-2c)=4a^2c^2\geq0.$$ よって $abcd$ は正または $0$ である。

(2) $\Delta=ad-bc$ とおく。直接計算により $$A\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}A =\begin{pmatrix}\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}.$$ したがって $\Delta\ne0$ なら、右辺を $\Delta$ で割った行列が $A$ の逆行列である。仮定より $A$ は逆行列を持たないから、$ad-bc=0$ である。正でない成分がどれか一つだけだとして場合分けすると、 $$\displaystyle a=\frac{bc}{d}>0,\qquad b=\frac{ad}{c}>0,\qquad c=\frac{ad}{b}>0,\qquad d=\frac{bc}{a}>0$$ のいずれかが成り立つ（右辺の分母と分子は、仮定された他の三成分によりすべて正）。よって残りの成分も正である。

(3) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$ とおく。$\Delta=ad-bc\ne0$ と仮定すると、$AB=O$ の第1列から $$ae+bg=0,\qquad ce+dg=0.$$ 第1式に $d$、第2式に $b$ を掛けて差をとると $\Delta e=0$ なので $e=0$ である。また第1式に $c$、第2式に $a$ を掛けて差をとると $-\Delta g=0$ なので $g=0$ である。同様に第2列の二式 $af+bh=0$、$cf+dh=0$ から $f=h=0$ を得る。これは $B=O$ を意味し、仮定 $B\ne O$ に反する。よって $ad-bc=0$ である。

さらに、$ad-bc=0$ ならば $A$ は逆行列を持たないことを成分で確かめる。第1行 $(a,b)$ が零行なら、任意の行列 $X$ について $AX$ の第1行も零行となり、$AX=I$ にはならない。第1行が零行でないとき、$a\ne0$ なら $\displaystyle (c,d)=\frac ca(a,b)$。一方 $a=0$ なら $b\ne0$ であり、$ad-bc=0$ から $c=0$ なので $\displaystyle (c,d)=\frac db(a,b)$ である。いずれも $A$ の二つの行は比例し、成分による行列積でも $AX$ の二つの行は比例するから、単位行列のように比例しない二行にはならない。従って $A$ に逆行列は存在しない。