1広島大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle \alpha^2=\left(\frac{1+\sqrt3 i}{2}\right)^2=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}, \qquad \alpha^2-\alpha+1=\frac{-1+\sqrt3 i-(1+\sqrt3 i)}2+1=0.$$

(2) $\displaystyle \alpha=\dfrac{1+\sqrt3 i}{2}$ の絶対値は1、偏角は $60^\circ$ であり、$|\alpha-1|=1$ でもある。そこで $w=\alpha z$ とおくと $$|w|=|z|,\qquad |w-z|=|\alpha-1|\,|z|=|z|,$$ だから $\triangle POB$ は正三角形となる。さらに $\theta=\arg z$ とすると $0^\circ<\theta<90^\circ$ であり、$\arg w=\theta+60^\circ$ である。直線 $OB$ の方向角 $\theta$ から見ると、$A(1)$ の方向角との差は $-\theta$、$P(w)$ の方向角との差は $60^\circ$ で符号が反対である。よって $P$ は直線 $OB$ に関して $A$ と反対側にある。したがって $$w=\alpha z.$$

(3) $q=z+\alpha-\alpha z$ とおくと $$q-z=\alpha(1-z).$$ 複素数 $1-z$ は $B$ から $A$ への向きと長さを表し、$\alpha$ を掛けることは長さを変えずに反時計回りに $60^\circ$ 回転することである。したがって $\overrightarrow{BQ}$ は $\overrightarrow{BA}$ を $60^\circ$ 回転したものだから、$|BQ|=|BA|$ かつ $\angle ABQ=60^\circ$ である。二辺が等しくその間の角が $60^\circ$ なので、$\triangle ABQ$ は正三角形である。

(4) (1)より $1-\alpha=-\alpha^2$ である。(2)の $w=\alpha z$ を使うと $$z+\alpha-\alpha z=\alpha+(1-\alpha)z =\alpha-\alpha^2z=\alpha(1-\alpha z)=\alpha(1-w).$$ $\arg w=\theta+60^\circ$ は $60^\circ<\arg w<150^\circ$ を満たすことより $w\ne1$ なので、 $$\displaystyle \frac{z+\alpha-\alpha z}{w-1}=-\alpha=\frac{-1-\sqrt3 i}{2}.$$ これは第3象限にあり、偏角の指定範囲で $\displaystyle \arg\left(\dfrac{z+\alpha-\alpha z}{w-1}\right)=240^\circ$ である。