5広島大学 2001年 数学 第5問解答・解説

(1) $x=0$ を代入すると $f(0)=0$。部分積分により、任意の実数 $x$ について $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^x(x-t)f^{\prime}(t)\,dt&=[(x-t)f(t)]_0^x+\int_0^x f(t)\,dt\\ &=-xf(0)+\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^x f(t)\,dt. \end{aligned}$$ したがって与式は $\displaystyle f(x)=x^2-\int_0^x f(t)\,dt$ と書ける。これを微分して $f^{\prime}(x)=2x-f(x)$ を得る。 (2) 積の微分法と (1) より $$(e^xf(x))^{\prime}=e^x(f(x)+f^{\prime}(x))=e^x(f(x)+2x-f(x))=2xe^x.$$ (3) (2) を $0$ から $x$ まで積分し、$f(0)=0$ を用いると $$\displaystyle e^xf(x)=2\int_0^x te^t\,dt.$$ ここで部分積分すると $$\displaystyle \int_0^x te^t\,dt=[te^t]_0^x-\int_0^x e^t\,dt=xe^x-(e^x-1).$$ よって $f(x)=2x-2+2e^{-x}$。この式は $f(0)=0$ および $f^{\prime}(x)=2x-f(x)$ を満たす。したがって積分を用いた上の同値変形を逆にたどれば、もとの積分方程式も満たす。なお、(1) と (2) から得た式なので、この関数が唯一の解である。