3広島大学 2001年 数学 第3問解答・解説

（1）（2）$d_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと，条件より $d_n>0$ であり，$a_n\geq a_1=2$ である。$$\begin{aligned}d_n^2&=2(a_{n+1}+a_n)=2(2a_n+d_n),\\(d_n-1)^2&=4a_n+1.\end{aligned}$$ここで $a_n\geq2$ だから $\sqrt{4a_n+1}>1$ である。$d_n=1-\sqrt{4a_n+1}$ とすると $d_n<0$ となり $d_n>0$ に反するので，$d_n=1+\sqrt{4a_n+1}$ である。したがって $a_{n+1}=a_n+1+\sqrt{4a_n+1}$。よって$$\begin{aligned}4a_{n+1}+1&=4a_n+5+4\sqrt{4a_n+1}\\&=(\sqrt{4a_n+1}+2)^2.\end{aligned}$$両辺の平方根をとると，$b_n=\sqrt{4a_n+1}$ として $b_{n+1}=b_n+2$。また $b_1=\sqrt{9}=3$ だから，$b_n=3+2(n-1)=2n+1$。ゆえに $4a_n+1=(2n+1)^2$ より $a_n=n(n+1)$。特に $a_2=6,\ a_3=12,\ a_4=20$。　 （3）一般項を用いて$$\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}&=\sqrt{(n+1)(n+2)}-\sqrt{n(n+1)}\\&=\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}-\sqrt n)\\&=\frac{2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}\\&=\frac{2\sqrt{1+1/n}}{\sqrt{1+2/n}+1}\longrightarrow 1\quad(n\to\infty).\end{aligned}$$したがって求める極限は $1$。