1産業医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $s=x+y$, $t=x-y$ とおく。条件式は $$\displaystyle s^2+2t+2=0, \qquad t=-1-\frac{s^2}{2}\leq -1$$ となる。$s=0$ のとき $\displaystyle x=-\frac12$, $\displaystyle y=\frac12$ が条件を満たし、$t=-1$ に達する。したがって最大値は $-1$ である。

(2) 与えられた等式から $a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_n)$ である。$b_n=a_n/2^n$ とおくと $$b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n, \qquad b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_n.$$ よって $\{b_n\}$ は等差数列である。$\displaystyle b_1=\frac12$, $\displaystyle b_2=\frac34$ だから、公差は $\displaystyle \frac14$ で $$\displaystyle b_n=\frac12+\frac{n-1}{4}=\frac{n+1}{4}, \qquad a_n=(n+1)2^{n-2}.$$ この式の各項は正なので元の分母 $a_{n+2}$ は $0$ でなく、元の条件と両立する。したがって $$a_{31}=32\cdot 2^{29}=2^{34}.$$

(3) $\beta=0$ とすると $\alpha^2=0$ となり、$|\alpha-\beta|=2\sqrt5$ に反する。したがって $z=\alpha/\beta$ とおける。$\alpha^2+\beta^2=\alpha\beta$ より $$\displaystyle z^2-z+1=0, \qquad z=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}.$$ ここから $|z|=|z-1|=1$ であり、$|\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=2\sqrt5$ である。また $\alpha$ と $\beta$ のなす角は $\pi/3$ だから、三角形の面積は $$\displaystyle \frac12|\alpha||\beta|\sin\frac\pi3 =\frac12(2\sqrt5)^2\frac{\sqrt3}{2} =5\sqrt3.$$

(4) $B=\angle ABC$, $D=\angle ADC$ とおく。円に内接する四角形なので $D=\pi-B$。対角線 $AC$ に二つの三角形から余弦定理を用いると $$AC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos B=25-24\cos B,$$ $$AC^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cos D=61+60\cos B.$$ したがって $\displaystyle \cos B=-\frac37$。$0<B<\pi$ より $\displaystyle \sin B=\frac{2\sqrt{10}}7$。四角形の面積は $$\displaystyle \frac12(3\cdot4)\sin B+\frac12(6\cdot5)\sin D =21\sin B=6\sqrt{10}.$$

(5) $\displaystyle \zeta=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$ とし、$T=\zeta+\zeta^2+\zeta^4$ とおく。$\zeta^7=1$, $\zeta\ne1$ から $$1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^6=0.$$ また $\overline{T}=\zeta^6+\zeta^5+\zeta^3$ であり、積を展開すると $$T+\overline{T}=-1, \qquad T\overline{T}=3+(\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^6)=2.$$ よって $\displaystyle \operatorname{Re}T=-\frac12$, $\displaystyle |\operatorname{Im}T|=\frac{\sqrt7}{2}$。さらに $$\displaystyle \operatorname{Im}T =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac\pi7>0.$$ 最後の不等号は $0<\pi/7<2\pi/7<\pi/2$ より $\sin(2\pi/7)>\sin(\pi/7)$ で、$\sin(4\pi/7)>0$ だからである。したがって正弦和は $\displaystyle \frac{\sqrt7}{2}$、余弦和は $\displaystyle -\frac12$ である。

(6) $4$ 以上 $100$ 以下の整数は $100-4+1=97$ 個ある。$100$ 以下の素数を列挙すると $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$$ の $25$ 個である。$100$ 以下の合成数は $\sqrt{100}=10$ 以下の素数 $2,3,5,7$ のいずれかで割れるので、この列挙はそれらによる試し割りで確認できる。範囲 $4$ 以上 $100$ 以下に入る素数は、$2,3$ を除いた $23$ 個である。この範囲に $1$ はなく、素数でなければ合成数だから、求める個数は $$97-23=74.$$

(7) $A_n=\sqrt[3]{n^9-n^6}$ とおく。立方差の因数分解より $$(A_n-n^3)(A_n^2+A_n n^3+n^6)=A_n^3-n^9=-n^6.$$ $n\geq1$ では分母が正であり、$r_n=A_n/n^3=\sqrt[3]{1-1/n^3}$ とおけば $$\displaystyle A_n-n^3=-\frac{1}{r_n^2+r_n+1}.$$ $r_n\to1$ なので、求める極限は $\displaystyle -\frac13$ である。