2日本大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) 内積は成分ごとの積の和であるから $$\vec a\cdot\vec b=(1-t)+(2-t)+(2t+3)=6.$$ また $$\vec a-\vec b=(-t,\,1-t,\,2t+2)$$ より $$\displaystyle \begin{aligned} |\vec a-\vec b|^2 &=t^2+(1-t)^2+(2t+2)^2\\ &=6t^2+6t+5\\ &=6\left(t+\frac12\right)^2+\frac72. \end{aligned}$$ したがって $t=-1/2$ のとき最小となり、その最小値は $$\displaystyle \sqrt{\frac72}=\frac{\sqrt{14}}{2}$$ である。

(2) $u=\sin(x/2)$ とおくと、$0\leq x\leq2\pi$ より $0\leq u\leq1$ である。また $$\cos x=1-2\sin^2(x/2)=1-2u^2$$ だから $$\displaystyle y=1+\frac12u-2u^2 =-2\left(u-\frac18\right)^2+\frac{33}{32}.$$ よって最大値は $u=1/8$ のときの $33/32$ である。最小値は区間の端で比較すればよく、 $$\displaystyle y(0)=1,\qquad y(1)=-\frac12$$ より最小値は $-1/2$ である。

(3) $z=(1+\sqrt3\,i)/2=\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)$ であるから、ド・モアブルの定理により $$\displaystyle a_n=\operatorname{Re}(z^n)=\cos\frac{n\pi}{3}.$$ したがって最初の6項は $$\displaystyle \frac12,\ -\frac12,\ -1,\ -\frac12,\ \frac12,\ 1$$ であり、以後6項ごとに繰り返す。これら6項の積は $-1/16$、和は $0$ である。また $$2020=6\cdot336+4$$ なので、最初の2020項の和は最初の4項の和に等しく、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{2020}a_n =\frac12-\frac12-1-\frac12=-\frac32.$$

(4) 差の平方の形にまとめると $$\begin{aligned} P &=a^4-25a^2-50a-25\\ &=(a^2)^2-(5a+5)^2\\ &=(a^2+5a+5)(a^2-5a-5). \end{aligned}$$ $F=a^2+5a+5,\ G=a^2-5a-5$ とおく。$a$ は整数なので $F,G$ も整数であり、$|FG|$ が素数なら $|F|=1$ または $|G|=1$ でなければならない。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{条件}&\text{方程式}&\text{整数解}\\ \hline F=1&a^2+5a+4=0&a=-1,-4\\ F=-1&a^2+5a+6=0&a=-2,-3\\ G=1&a^2-5a-6=0&a=-1,6\\ G=-1&a^2-5a-4=0&\text{整数解なし} \end{array}$$ したがって候補は $a=-1,-4,-2,-3,6$ に限られる。それぞれの $|P|$ は順に $1,31,9,19,71$ である。$19$ は $2,3$、$31$ は $2,3,5$、$71$ は $2,3,5,7$ のいずれでも割り切れないので、いずれも素数である。よって素数となる値は $31,19,71$ の3個であり、その最大は $71$ である。