日本大学 2020年数学第3問解答・解説

1問題

日本大学2020年度第3問

A君とB君がさいころを振り得点を争うゲームを行うとする。最初にA君は持ち点10点，B君は持ち点6点あり，この状態からゲームを始めるとする。さいころを振り，出た目が2以下ならばA君に+1点，B君に+3点与えられる。また，さいころを振り，出た目が3以上ならばA君に+2点，B君に+1点与えられる。さいころを $n$ 回振り，2以下の目が出た回数を $x$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1) $n=50$ とする。このとき，A君とB君の得点がちょうど等しくなるならば，

$x=\boxed{41}\boxed{42}$

であり，そのときの各自の得点は $\boxed{43}\boxed{44}$ 点である。

(2) $n=5$ とする。このとき，A君とB君の得点がちょうど等しくなる確率は

$\displaystyle \frac{\boxed{45}\boxed{46}}{\boxed{47}\boxed{48}\boxed{49}}$

である。

(3) $n=6$ とする。このとき，A君の得点がB君の得点よりも小さくなる確率は

$\displaystyle \frac{\boxed{50}\boxed{51}}{\boxed{52}\boxed{53}\boxed{54}}$

である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

2以下と3以上の回数で両者の得点を表し、得点差から条件を決める。確率は独立な各回の出目の確率と、該当する回の選び方を用いて計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\space{}x=18,\quad 92$ 点
$\displaystyle (2)\space{}\frac{40}{243}$
$\displaystyle (3)\space{}\frac{73}{729}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

1回の試行で2以下が出る確率は $1/3$ 、3以上が出る確率は $2/3$ である。2以下が $x$ 回、3以上が $n-x$ 回出るとき、A君とB君の得点はそれぞれ $A=10+x+2(n-x)=10+2n-x,\qquad B=6+3x+(n-x)=6+n+2x$ となる。したがって得点差は $A-B=4+n-3x$ である。

(1) $n=50$ のとき、得点が等しい条件は $4+50-3x=0$ だから $x=18$ 。このとき $A=10+100-18=92,\qquad B=6+50+2\cdot18=92$ であり、各自の得点は $92$ 点である。

(2) $n=5$ では、等得点の条件 $4+5-3x=0$ より $x=3$ である。5回のうち2以下が出る3回の選び方は $\displaystyle \binom53$ 通りであり、各並びの確率は $(1/3)^3(2/3)^2$ なので、 $\displaystyle \binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2 =\frac{40}{243}.$

(3) $n=6$ では $A-B=10-3x<0$ となる条件は $x\geq4$ である。よって求める確率は $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{x=4}^{6}\binom6x\left(\frac13\right)^x\left(\frac23\right)^{6-x} &=\frac{\binom64\cdot2^2+\binom65\cdot2+\binom66}{3^6}\\ &=\frac{15\cdot4+6\cdot2+1}{729} =\frac{73}{729}. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則

1問題

2考え方

3答え

4解答

似た問題を、ほかの大学で