4東北大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) 手元に白玉が2個あるためには、2回とも表が出て、2回の取り出しがともに白玉であることが必要十分である。よって $$\displaystyle \frac12\cdot\frac35\cdot\frac12\cdot\frac24=\frac3{40}.$$

(2) 3回後に手元の玉が計2個あるには、3回の硬貨で表が2回、裏が1回でなければならない。この硬貨の出方の確率は $\displaystyle \binom31/2^3=3/8$。表の回に手元へ移る2個が白1個・赤1個となる確率は、戻す回には箱の内容が変わらないので $$\displaystyle \frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac34=\frac35.$$ したがって求める確率は $\displaystyle \frac38\cdot\frac35=\frac9{40}$。

(3) ちょうど $n$ 回目で停止するには、最初の $n-1$ 回に表が4回、裏が $n-5$ 回出て、$n$ 回目に表が出る必要がある。最初の4回の表で4個が手元に移り、箱に残る最後の1個を $n$ 回目に引いて表が出れば停止する。硬貨の出方は独立なので $$\displaystyle p_n=\binom{n-1}{4}\left(\frac12\right)^n=\frac{\binom{n-1}{4}}{2^n}\qquad(n\ge5).$$

(4) 隣り合う確率の比は $$\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{\binom{n}{4}}{2\binom{n-1}{4}}=\frac{n}{2(n-4)}.$$ これは $5\le n<8$ で1より大きく、$n=8$ で1、$n>8$ で1より小さい。したがって $p_n$ は $p_8=p_9$ を最大とし、最大となる $n$ は $8,9$ である。実際、 $$\displaystyle p_8=\frac{\binom74}{2^8}=\frac{35}{256},\qquad p_9=\frac{\binom84}{2^9}=\frac{35}{256}.$$