1東北大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1)　 余弦定理より $$\displaystyle \cos\theta =\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{1+1-\frac14}{2} =\frac78.$$ 三角形の角なので $\sin$$\theta$>0 であり、 $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\frac{49}{64}} =\frac{\sqrt{15}}8.$$

BH$\perp$ AC なので $\triangle$ ABH は H を直角とする。したがって $$\displaystyle AH=AB\cos\theta=\frac78,\qquad BH=AB\sin\theta=\frac{\sqrt{15}}8,\qquad HC=AC-AH=\frac18.$$ BP:PH=s:(1-s) かつ BP+PH=BH より $$BP=sBH,\qquad PH=(1-s)BH.$$

三平方の定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} AP^2+BP^2+CP^2 &=AH^2+PH^2+BP^2+HC^2+PH^2\\ &=\frac{49}{64}+\frac{1}{64} +\frac{15}{64}\left(s^2+2(1-s)^2\right)\\ &=\frac{25}{32}+\frac{15}{64}(3s^2-4s+2)\\ &=\frac{15}{16}+\frac{45}{64}\left(s-\frac23\right)^2. \end{aligned}$$ よって最小値は $\displaystyle \frac{15}{16}$ であり、これは許された範囲 0<s<1 の中の s=$\displaystyle \frac23$ で達成される。