3高知大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $\triangle$ ABCにおいて AB=2, AC=3, BC=4 であるから，余弦定理より $$\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{2^{2}+3^{2}-4^{2}}{2\cdot2\cdot3}=\frac{4+9-16}{12}=-\frac{1}{4}.$$

(2)　 $\cos$$\angle$ BAC=-$\displaystyle \dfrac14$<0 より $\angle$ BAC は鈍角であるが，$\sin$$\angle$ BAC>0 であることに変わりはないので， $$\displaystyle \sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(-\frac14\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.$$ $\triangle$ ABC の面積は $$\displaystyle S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC=\frac12\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{3\sqrt{15}}{4}.$$ P は辺AB 上，Q は辺AC 上の点で，AP=x (0<x$\le$2), AQ=y (0<y$\le$3) とすると， $$\displaystyle \triangle APQ=\frac12\cdot x\cdot y\cdot\sin\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{8}xy.$$ 線分$PQ$が$\triangle ABC$の面積を2等分する条件は$\displaystyle \triangle APQ=\dfrac12 S$であるから， $$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}xy=\frac12\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}=\frac{3\sqrt{15}}{8}\quad\text{ならば}\quad xy=3.\tag{$\ast$}$$ $P$が辺$AB$上，$Q$が辺$AC$上を動くという条件と$(\ast)$を両立させるには，$\displaystyle y=\dfrac3x\ (0<y\le3)$より$x\ge1$，また$x\le2$であることが必要十分であるから， $$\displaystyle 1\le x\le2,\qquad y=\frac3x,\quad\frac32\le y\le3.$$ 次に$\triangle APQ$において，頂角$\angle PAQ=\angle BAC$であるから余弦定理より $$\displaystyle PQ^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\angle BAC=x^{2}+y^{2}-2xy\left(-\frac14\right)=x^{2}+y^{2}+\frac{xy}{2}.$$ $k=x-y$とおくと$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy=k^{2}+2xy$であり，$(\ast)$の$xy=3$を用いると $$\displaystyle x^{2}+y^{2}=k^{2}+6,\qquad \frac{xy}{2}=\frac32.$$ ゆえに $$\displaystyle PQ^{2}=k^{2}+6+\frac32=k^{2}+\frac{15}{2}.$$ $PQ>0$であるから， $$\displaystyle \boxed{PQ=\sqrt{\,k^{2}+\dfrac{15}{2}\,}}\qquad(k=x-y).$$

(3)　 (2)の結果$\displaystyle PQ^{2}=k^{2}+\dfrac{15}{2}$より，$PQ$の最大・最小は$k^{2}$の最大・最小と対応する。そこで$1\le x\le2$における $$\displaystyle k=k(x)=x-\frac{3}{x}$$ の値域を調べる。$1\le x_{1}<x_{2}\le2$のとき， $$\displaystyle k(x_{2})-k(x_{1})=(x_{2}-x_{1})+3\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right)=(x_{2}-x_{1})+\frac{3(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}=(x_{2}-x_{1})\left(1+\frac{3}{x_{1}x_{2}}\right)>0$$ であるから，$k(x)$は$1\le x\le2$で単調増加である。ゆえに$k(x)$は連続関数として $$\displaystyle k(1)=1-3=-2,\qquad k(2)=2-\frac32=\frac12$$ の間のすべての値を過不足なくとり，$k$の値域は $$\displaystyle -2\le k\le\frac12$$ である。この区間には$k=0$（$1\le x=\sqrt3\le2$に対応）が含まれるから，$k^{2}$の最小値は$k=0$のとき$0$である。また$\displaystyle |-2|=2>\left|\dfrac12\right|=\dfrac12$であるから，$k^{2}$の最大値は$k=-2$（$x=1,\,y=3$）のとき$4$である。したがって $$\displaystyle \frac{15}{2}\le PQ^{2}\le\frac{15}{2}+4=\frac{23}{2}.$$ $k=0$は$x=y=\sqrt3$（このとき$xy=3$を満たし，$1\le\sqrt3\le2$なので実現可能）で成り立つので， $$\displaystyle PQ_{\min}=\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}\quad(x=y=\sqrt3\ \text{のとき}),$$ $k=-2$は$x=1,\ y=3$（すなわち$P$が$AB$の中点，$Q=C$）で成り立つので， $$\displaystyle PQ_{\max}=\sqrt{\frac{23}{2}}=\frac{\sqrt{46}}{2}\quad(x=1,\,y=3\ \text{のとき}).$$ （検算：座標を$\displaystyle A=(0,0),\,B=(2,0),\,C=\left(-\dfrac34,\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)$ととると$AB=2,\,AC=3$かつ$\displaystyle BC^{2}=\left(\dfrac{11}{4}\right)^{2}+\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)^{2}=16$となり$BC=4$と一致する。$x=1,y=3$のとき$P=(1,0),\,Q=C$で$\displaystyle PQ^{2}=\left(\dfrac74\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{15}}4\right)^2=\dfrac{23}{2}$，$x=y=\sqrt3$のとき$\displaystyle P=(\sqrt3,0),\,Q=\sqrt3\left(-\dfrac14,\dfrac{\sqrt{15}}4\right)$で$\displaystyle PQ^{2}=\dfrac{75}{16}+\dfrac{45}{16}=\dfrac{15}{2}$となり，いずれも上の結果と一致する。）