1高知大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 関数を微分すると $$\displaystyle f'(x)=-\frac34x^2+3=\frac34(4-x^2)$$ となる。したがって、$x<-2$ で減少し、$-2<x<2$ で増加し、$x>2$ で減少する。よって $$f(-2)=-4,\qquad f(2)=4$$ より、$(-2,-4)$ は極小点、$(2,4)$ は極大点である。また、 $$\displaystyle f(x)=\frac{x}{4}(12-x^2)$$ から、$x$ 切片は $-2\sqrt3,0,2\sqrt3$ である。さらに、$x\to-\infty$ で $f(x)\to+\infty$、$x\to+\infty$ で $f(x)\to-\infty$ だから、これらの点と増減をもとに左上から右下へ進む曲線を描けばよい。

(2) 差を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} f(x-2)-f(x)&=-\frac14\bigl((x-2)^3-x^3\bigr)+3\bigl((x-2)-x\bigr)\\ &=\frac32x^2-3x-4. \end{aligned}$$ したがって、求める条件は $3x^2-6x-8=0$ である。解の公式より $$\displaystyle x=\frac{6\pm\sqrt{36+96}}6=1\pm\frac{\sqrt{33}}3.$$ この二つの値では上の差が $0$ となるため、求める解は $\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{33}}3,\ 1+\frac{\sqrt{33}}3$ である。

(3) $x\to-\infty$ で $f(x)\to+\infty$ なので、範囲 $x\le s$ で最小値をとる。$s\le-2$ のとき、$f$ は $x\le s$ で減少するから、最小値は右端でとり $g(s)=f(s)$ である。$s\ge-2$ なら範囲に極小点 $x=-2$ が含まれ、$f(-2)=-4$ となる。ここで $$\displaystyle f(s)+4=\frac14(s+2)^2(4-s)$$ だから、$-2\le s\le4$ では $f(s)\ge-4$、$s\ge4$ では $f(s)\le-4$ である。したがって $$g(s)=\begin{cases} f(s)&(s\le-2),\\ -4&(-2\le s\le4),\\ f(s)&(s\ge4) \end{cases}$$ となる。グラフは、$t=f(s)$ の $s\le-2$ と $s\ge4$ の部分を、点 $(-2,-4)$ から $(4,-4)$ までの水平線分でつないだものである。

(4) $s\le-2$ では$s-2\le x\le s$ の範囲で $f$ は減少するので、最小値は右端でとり $h(s)=f(s)$ である。$-2\le s\le0$ では区間が $-2$ を含み、区間内の他の点では関数値が $-4$ 以上だから、$h(s)=-4$ となる。$0\le s\le2$ では $s-2\le x\le s$ ならば $-2\le x\le2$ であり、$f$ はこの区間で増加するため、最小値は左端でとり $h(s)=f(s-2)$ である。

$2\le s\le4$ では、$f$ は $s-2\le x\le2$ の範囲で増加し、$2\le x\le s$ の範囲で減少する。したがって、最小値は両端の関数値の小さい方である。両端の値の差は $$\displaystyle f(s-2)-f(s)=\frac32s^2-3s-4$$ であり、その零点は $\displaystyle s=1\pm\frac{\sqrt{33}}3$ である。この範囲にある零点を $\displaystyle \alpha=1+\frac{\sqrt{33}}3$ とする。$s=2$ では $f(s-2)<f(s)$ であり、差の二次式は $2\le s<\alpha$ で負、$\alpha<s\le4$ で正だから、$2\le s\le\alpha$ では左端の値、$\alpha\le s\le4$ では右端の値が小さい。$s\ge4$ では区間全体で $x\ge2$ となり、$f$ は減少するので、やはり $h(s)=f(s)$ となる。以上より $$h(s)=\begin{cases} f(s)&(s\le-2),\\ -4&(-2\le s\le0),\\ f(s-2)&(0\le s\le\alpha),\\ f(s)&(s\ge\alpha) \end{cases}$$ である。境界では各式の値が一致する。切替点では $$\displaystyle f(\alpha-2)=f(\alpha)=\frac{4\sqrt{33}}9$$ となり、ここでグラフは上昇から下降に転じる。これらの枝を順につないで $t=h(s)$ のグラフを描けばよい。

(1)、(3)、(4)のグラフは、定義式の枝と境界点を示した別添図 diagram.svg にまとめた。