4高知大学 2021年 数学 第4問解答・解説

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解答（改訂1）

(1) 平行四辺形では対角線の中点が一致する。3点 $\alpha,\beta,\gamma$ のどの組を対角線の端とするかに応じて、4点が頂点となる $\delta$ は次の3通りである。 $$\begin{array}{ll} \alpha,\gamma\text{ が対角線の端}:&\alpha+\gamma=\beta+\delta\quad\text{より}\quad\delta=\alpha+\gamma-\beta,\\ \alpha,\beta\text{ が対角線の端}:&\alpha+\beta=\gamma+\delta\quad\text{より}\quad\delta=\alpha+\beta-\gamma,\\ \beta,\gamma\text{ が対角線の端}:&\beta+\gamma=\alpha+\delta\quad\text{より}\quad\delta=\beta+\gamma-\alpha. \end{array}$$ $\alpha,\beta,\gamma$ は一直線上にないので、どの場合も退化しない平行四辺形になる。したがって、問題文の「頂点となる」という条件を満たす $\delta$ はこの3通りである。もし $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ の巡回順を意図しているなら第1の式となる。

(2) $z\ne\beta$ とする。$\displaystyle \frac{z-\alpha}{z-\beta}$ が実数であることは、ベクトル $z-\alpha$ と $z-\beta$ が平行であることと同値であり、これは $z$ が直線 $\alpha\beta$ 上にあることを表す。$z=\alpha$ では比は $0$ であり、$z=\beta$ では分母が0になる。よって直線 $\alpha\beta$ から $\beta$ を除いた図形である。

(3) $z=\alpha$ は元の式を満たさない。$z\ne\alpha$ なら $$\displaystyle t=i\frac{z-\beta}{z-\alpha}$$ だから、実数 $t$ が存在する条件は $\displaystyle \frac{z-\beta}{z-\alpha}$ が純虚数または0となることである。したがって $z-\beta$ と $z-\alpha$ が垂直である。$z=\beta$ も $t=0$ で満たすので、求める図形は直径 $\alpha\beta$ の円周から $\alpha$ を除いたもの。

高校範囲・方法: 複素数平面、対角線の中点、実数比による共線、垂直条件と直径円を用いる。