3久留米大学 2022年 数学 第3問解答・解説

解答

(1) $\displaystyle w=(-2-i)\dfrac{z}{z-2}$ と変形できる。$z=x+yi$ とすると，$w$ が実数である条件は $$\operatorname{Im}\bigl((-2-i)(x+yi)((x-2)-yi)\bigr)=-x^2-y^2+2x+4y=0$$ である。従って $$(x-1)^2+(y-2)^2=5.$$ ただし，もとの式で $z=2$ は定義されない。この点は上の円周上にあるので，$C$ は点 $2$ を除く，中心 $1+2i$，半径 $\sqrt5$ の円である。

(2) $C$ 上で実数となる点は $y=0$ を円の方程式に代入して得られる。$(x-1)^2+4=5$ より $x=0,2$ だが，$z=2$ は除くので $A=0$ である。よって $$|A-B|=|0-(5-5i)|=\sqrt{5^2+(-5)^2}=5\sqrt2.$$

(3) 点 $z=x+yi$ が $C$ 上にあるなら $y\le 2+\sqrt5$ である。任意の実数 $a$ とこの $z$ に対して $$|z-(a+6i)|=\sqrt{(x-a)^2+(y-6)^2}\ge 6-y\ge 4-\sqrt5.$$ 円の最上点 $z=1+(2+\sqrt5)i$ は除外点 $2$ ではなく，ここで $a=1$ とすると両方の不等号で等号が成り立つ。したがって求める値は $a=1$，最小距離は $4-\sqrt5$ である。