1久留米大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$t$を$\displaystyle -\frac\pi2\le t\le\frac\pi2$として$x=2\cos t,\ y=\sqrt3\sin t$と置く。$x+y=2\cos t+\sqrt3\sin t$は振幅$\sqrt7$を持ち、最大値$\sqrt7$を取る。最小は端点で生じ、$\displaystyle t=-\frac\pi2$のとき$-\sqrt3$（もう一方の端点では$\sqrt3$）。 (2) $s=\sin t$と置くと$-1\le s\le1$、$x^2+y=4(1-s^2)+\sqrt3s$。下に凸でなく上に凸の二次式であり、頂点$\displaystyle s=\frac{\sqrt3}{8}$は区間内。最大値は$\displaystyle 4+\frac3{16}=\frac{67}{16}$。最小は端点で比較し、$s=-1$の$-\sqrt3$。 (3) $\displaystyle x^2+xy+y^2=4\cos^2t+2\sqrt3\cos t\sin t+3\sin^2t=\frac72+\frac12\cos2t+\sqrt3\sin2t$。振幅は $\displaystyle \sqrt{(\frac12)^2+3}=\frac{\sqrt{13}}2$。最大点は許される区間内（$\displaystyle \cos2t=\frac1{\sqrt{13}},\ \sin2t=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{13}}$）に存在するから最大値は $\displaystyle \frac{7+\sqrt{13}}2$。