1京都大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $|w|=R$ なので、ある実数 $t$ を用いて $$w=R(\cos t+i\sin t),\qquad w^{-1}=R^{-1}(\cos t-i\sin t)$$ と表せる。従って $$w+w^{-1}=(R+R^{-1})\cos t+i(R-R^{-1})\sin t.$$ $x,y$ を実部・虚部と比較すると $$x=(R+R^{-1})\cos t,\qquad y=(R-R^{-1})\sin t.$$ $t$ を動かして媒介変数を消去すれば $$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{(R+R^{-1})^2}+\frac{y^2}{(R-R^{-1})^2}=1}.$$ $R>1$ より両係数は正であり、$t$ が全周を動くので楕円全体を得る。

(2) 偏角が $\alpha$ の複素数は、ある $\rho>0$ を用いて $$w=\rho(\cos\alpha+i\sin\alpha),\qquad w^{-1}=\rho^{-1}(\cos\alpha-i\sin\alpha)$$ と表せる。従って $$x=(\rho+\rho^{-1})\cos\alpha,\qquad y=(\rho-\rho^{-1})\sin\alpha.$$ $0<\alpha<\pi/2$ だから $\sin\alpha,\cos\alpha>0$ であり、 $$\displaystyle \left(\frac{x}{\cos\alpha}\right)^2- \left(\frac{y}{\sin\alpha}\right)^2 =(\rho+\rho^{-1})^2-(\rho-\rho^{-1})^2=4.$$ また $\rho+\rho^{-1}\ge2$ より $x\ge2\cos\alpha$。従って軌跡は $$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{4\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{4\sin^2\alpha}=1, \qquad x\ge2\cos\alpha}.$$ 逆に、この右枝上の任意の点について $q=y/\sin\alpha$ とおき $$\displaystyle \rho=\frac{q+\sqrt{q^2+4}}{2}>0$$ とする。このとき $\rho-\rho^{-1}=q$ であり、枝の条件と双曲線の式から $$\displaystyle \rho+\rho^{-1}=\sqrt{q^2+4}=\frac{x}{\cos\alpha}.$$ よってこの $\rho$ に対応する $w$ が元の点 $(x,y)$ を与える。従って右枝全体が軌跡である。