3長崎大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $u=\sqrt a+1/\sqrt a>0$ とおくと $u^2=a+2+1/a=20$。したがって $u=2\sqrt5$。 また $v=\sqrt[3]a+1/\sqrt[3]a$ とおくと $$v^3=18+3v,\qquad (v-3)(v^2+3v+6)=0.$$ 後ろの二次式の判別式は $-15<0$ なので $v=3$。

(2) 真数条件は $x>0$。$t=\log_3x$ とおくと $$-(2+2t)(t-4)=-12,\qquad (t-5)(t+2)=0.$$ よって $\boxed{x=243,\ 1/9}$。

(3) 左辺を合成すると $2\cos(2\theta-\pi/3)\ge1$。余弦が $1/2$ 以上になる区間を取り、$0\le\theta<2\pi$ と共通部分を取れば $$\boxed{0\le\theta\le\pi/3\quad\text{または}\quad\pi\le\theta\le4\pi/3}.$$ 各境界では左辺は $1$ となる。

(4) $-8-8\sqrt3i=16(\cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi/3))$ である。四乗してこれになる複素数は $$z=2\{\cos(\pi/3+k\pi/2)+i\sin(\pi/3+k\pi/2)\}\quad(k=0,1,2,3).$$ したがって $$\boxed{z=1+\sqrt3i,\ -\sqrt3+i,\ -1-\sqrt3i,\ \sqrt3-i}.$$