4長崎大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OA}$ より $P=(t,2t,3t)$。

（1）座標から $$\begin{aligned} BP^2&=(t-1)^2+(2t-1)^2+(3t+1)^2=14t^2+3,\\ CP^2&=(t-7)^2+(2t-3)^2+(3t-5)^2=14t^2-56t+83. \end{aligned}$$ したがって $$BP^2+CP^2=28t^2-56t+86.$$

（2）平方完成すると $$28t^2-56t+86=28(t-1)^2+58.$$ よって最小値は $58$。そのとき $t=1$、$P=(1,2,3)$。

（3）$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$ とする。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1+2-3=0$ より $H=O=(0,0,0)$。また $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|^2} =\frac{7+6+15}{14}=2$$ なので $K$ は $\overrightarrow{OK}=2\overrightarrow{OA}$、すなわち $K=(2,4,6)$。さらに $$\overrightarrow{HB}=(1,1,-1),\qquad \overrightarrow{KC}=(5,-1,-1).$$ 内積は5、長さはそれぞれ $\sqrt3$、$3\sqrt3$ だから $$\displaystyle \cos\theta=\frac{5}{\sqrt3\cdot3\sqrt3}=\frac59.$$

（4）直線 $OA$ に沿って、$H$ を座標0、$K$ を座標 $HK$ と見る。$P$ が線分 $HK$ の外にあるときは、PをHまたはKの側へ動かして線分に近づけると、直角三角形の二つの距離 $BP,CP$ がともに小さくなる。したがって最小点は線分 $HK$ 上にある。

$x=HP$、$y=PK$ とおくと $x,y\ge0$、$x+y=HK=2\sqrt{14}$。また $BH=\sqrt3$、$CK=3\sqrt3$ なので $$BP+CP=\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+27}.$$ $a=\sqrt3$、$b=3\sqrt3$ とおくと $$\begin{aligned} &\bigl(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}\bigr)^2 -\bigl((x+y)^2+(a+b)^2\bigr)\\ &\qquad=2\left(\sqrt{(x^2+a^2)(y^2+b^2)}-(xy+ab)\right)\ge0, \end{aligned}$$ ここで $$(x^2+a^2)(y^2+b^2)-(xy+ab)^2=(xb-ya)^2\ge0.$$ 等号条件は $xb=ya$、すなわち $x:y=a:b=1:3$。従って $HP:PK=1:3$。このとき $$\displaystyle P=H+\frac14(K-H)=\left(\frac12,1,\frac32\right),$$ $$\displaystyle BP=\frac{\sqrt{26}}2,\qquad CP=\frac{3\sqrt{26}}2,$$ よって $BP+CP=2\sqrt{26}$。

OA方向をt倍した座標で二乗距離の和を平方完成する。射影でH,Kと垂直成分を求める。距離の和は線分HK上で最小となり、平方根の不等式から最適比を1:3とする。