1神戸大学 2005年 数学 第1問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3$、$|\overrightarrow{OA}|^2=3$より $$\overrightarrow{OD}=(1,2,0)-(1,1,1)=(0,1,-1).$$ 従って$D(0,1,-1)$。 (2) $P=(s+t,s+2t,s)$であるから $$\displaystyle \begin{aligned} CP^2&=(s+t)^2+(s+2t)^2+(s-1)^2\\ &=3s^2+(6t-2)s+5t^2+1\\ &=3\left(s+t-\frac13\right)^2+2t^2+2t+\frac23. \end{aligned}$$ $t$を固定したときの最小は$\boxed{s=1/3-t}$で達成される。 (3) さらに平方完成すると $$\displaystyle CP^2=3\left(s+t-\frac13\right)^2+2\left(t+\frac12\right)^2+\frac16.$$ よって$\boxed{s_0=5/6,\quad t_0=-1/2}$である。 (4) 左辺は$\displaystyle \overrightarrow{OP_0}=\frac56\overrightarrow{OA}-\frac12\overrightarrow{OB}$である。一方 $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|^2}=\frac13,\qquad \frac{\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OD}|^2}=-\frac12$$ なので、右辺は $$\displaystyle \frac13\overrightarrow{OA}-\frac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) =\frac56\overrightarrow{OA}-\frac12\overrightarrow{OB}.$$ 両辺は一致し、示された。なお$P_0=(1/3,-1/6,5/6)$で、$CP_0^2=1/6$も確認できる。