神戸大学 2005年数学第2問解答・解説

1問題

神戸大学2005年度第2問

$a$ を正の実数とする。 $xy$ 平面の放物線 $C:y=x^2$ 上に点 $A(-a,a^2)$ をとる。 $s>0$ のとき、 $x$ 軸上の点 $P(s,0)$ に対して、直線 $AP$ と $C$ の2つの交点のうち、 $A$ とは異なる交点を $Q(t,t^2)$ とする。 $Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸の交点を $P'(t,0)$ とする。いま、 $x$ 軸上の点 $P_1(c,0)$ ( $c>0$ ) から出発して、点 $P$ に対して点 $Q,P'$ を定めたのと同じ方法で $P_1$ から点 $Q_1,P_2$ を定め、同様に $P_2$ から点 $Q_2,P_3$ を定め、この方法を繰り返して、 $P_1,P_2,P_3,\ldots$ と $Q_1,Q_2,Q_3,\ldots$ を定める。次の問に答えよ。（配点30点）

(1) $t$ を $a$ と $s$ を用いて表せ。

(2) 点 $P_n$ ( $n=1,2,3,\ldots$ ) の $x$ 座標を $x_n$ とする。数列 $\{u_n\}$ を $\displaystyle u_n=\frac{1}{x_n}$ で定める。 $\{u_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 直角三角形 $P_nQ_nP_{n+1}$ の面積を $S_n$ で表す。自然数 $r$ を選んで、極限 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty} n^r S_n$ が正の実数値に収束するようにできる。このような $r$ の値とそのときの極限値 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty} n^r S_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad t=as/(a+s)\quad$ 。 (2) $\quad u_n=1/c+(n-1)/a\quad$ 。 (3) $\quad r=4\quad$ 、極限値は $\quad a^3/2\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad & \text{直線 }AP\text{ の傾き}=-\frac{a^2}{a+s},\qquad \text{直線 }AQ\text{ の傾き}=\frac{t^2-a^2}{t+a}=t-a,\\ & t-a=-\frac{a^2}{a+s}\text{より} t=\frac{as}{a+s}.\\[2pt] \text{(2)}\quad & x_{n+1}=\frac{a x_n}{a+x_n},\qquad u_{n+1}=\frac1{x_{n+1}}=u_n+\frac1a,\\ &u_1=\frac1c\text{より} u_n=\frac1c+\frac{n-1}{a},\\ &x_n=\frac{ac}{a+(n-1)c}.\\[2pt] \text{(3)}\quad & x_n-x_{n+1}=\frac{ac^2}{(a+(n-1)c)(a+nc)},\\ &S_n=\frac12(x_n-x_{n+1})x_{n+1}^2 =\frac{a^3c^4}{2(a+(n-1)c)(a+nc)^3},\\ & n^4S_n=\frac{a^3}{2}\frac{nc}{a+(n-1)c}\left(\frac{nc}{a+nc}\right)^3 \longrightarrow\frac{a^3}{2}>0.\\ & r<4\text{より} n^rS_n\to0,\quad r>4\text{より} n^rS_n\to+\infty,\\ &\text{したがって} r=4\text{ のみで有限な正の極限}\ \frac{a^3}{2}. \end{aligned}$

弦 $AQ$ の傾きは $t-a$ 、直線 $AP$ の傾きは $-a^2/(a+s)$ なので $t=as/(a+s)$ 。これを各段階に適用すると $x_{n+1}=ax_n/(a+x_n)$ 。逆数 $u_n=1/x_n$ は公差 $1/a$ の等差数列となり、 $x_n=ac/(a+(n-1)c)$ 。直角三角形の底辺・高さは $x_n-x_{n+1}$ と $x_{n+1}^2$ であり、 $n^4S_n\to a^3/2>0$ 。従って $r=4$ のときだけ $n^rS_n$ が有限正値に収束する。

この問題で使う考え方

弦の傾きの比較
逆数による漸化式の線形化
直角三角形の面積
漸近次数の判定

1問題

2答え

3解答

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