5神戸大学 2005年 数学 第5問解答・解説

Aの袋に3が書かれたカードが $a$ 枚あるとする。このときAの期待値は $$\displaystyle \frac{3a+9(6-a)}6=9-a.$$ Dの数字を $d$ とすると、期待値が等しいので $d=9-a$ である。$\displaystyle p(D,A)=\frac23$ より、$d\leq3$ では確率が0となるから、$d>3$ でなければならない。また $d=9$ なら $d=9-a$ から $a=0$ となり、$p(D,A)=0$ で矛盾する。したがって $4\leq d\leq8$ であり、DがAより大きくなるのはAが3のときだけなので、$\displaystyle \frac a6=\frac23$。よって $a=4$、$d=5$ である。

Bの2種類の数字を $u<v$、$u$ のカードを $k$ 枚とする。まず $v=9$ と仮定する。Aから9を引いた2通りはBの $u$ のカードに勝ち、Aから3を引いた4通りも $u<3$ の場合に限ってBの $u$ のカードに勝つ。したがって勝つ組の数は $u<3$ なら $6k$、$u\geq3$ なら $2k$ である。$\displaystyle p(A,B)=\frac23$ であるため勝つ組は $\displaystyle 36\times\frac23=24$ 組必要である。$u\geq3$ なら $2k\leq10$ で不可能であり、$u<3$ なら $6k=24$ より $k=4$ となるが、期待値5から $4u+18=30$、すなわち $u=3$ となり矛盾する。よって $v\ne9$ である。

$v<9$ ならAの9のカード2枚はBの全カードに勝ち、勝つ組が12組ある。Aの3のカード4枚はBのうち3未満のカードに勝つ。3未満のカードの枚数を $m$ とすると、$12+4m=24$ より $m=3$。したがってBの低い数 $u$ は3未満で3枚、高い数 $v$ は3以上で3枚である。期待値から $3u+3v=30$、$u+v=10$。$u$ は1または2で、$v<9$ だから、$u=2$、$v=8$ と決まる。

Cの2種類の数字を $x<y$ とする。$\displaystyle p(C,D)=\frac23$、$D=5$ より、Cのうち5より大きいカードは4枚である。期待値が5なので、Cの低い数 $x$ は5未満であり、高い数 $y$ のカードが4枚、$x$ のカードが2枚ある。$2x+4y=30$、すなわち $x+2y=15$。$5<y\leq9$、$1\leq x<5$ より、候補は $(x,y)=(3,6),(1,7)$ である。

Bは2が3枚、8が3枚なので、BとCから1枚ずつ引く36通りのうち、8は候補のCの全カードに勝つ。候補 $(3,6)$ では勝つ組は18組で確率は $\displaystyle \frac12$ となる。一方、候補 $(1,7)$ では8が勝つ18組に加え、Bの2がCの1に勝つ6組があり、確率は $\displaystyle \frac{24}{36}=\frac23$ となる。条件に合うのは後者である。したがってCは1が2枚、7が4枚である。