3神戸大学 2005年 数学 第3問解答・解説

$\ell$ の傾きをmとおく。直線は $y=m(x-1)+a$。円との交点のx座標は $$(1+m^2)x^2+2m(a-m)x+(a-m)^2-1=0$$ を満たす。接線条件として判別式を0とすると $$\displaystyle (a-m)^2=1+m^2,\qquad a^2-2am=1,\qquad m=\frac{a^2-1}{2a}>0.$$ $Q=(x_Q,0)$ とすると $0=m(x_Q-1)+a$ より $$\displaystyle x_Q=1-\frac{a}{m}=-\frac{a^2+1}{a^2-1}<0.$$ 従って $$\displaystyle L=QA=1-x_Q=\frac{2a^2}{a^2-1}.$$ 三角形PQAの底辺をQA、高さをaとすると $$\displaystyle S=\frac12La=\frac{a^3}{a^2-1}.$$ 微分すると $$\displaystyle S'(a)=\frac{a^2(a^2-3)}{(a^2-1)^2}.$$ よってSは $1<a<\sqrt3$ で減少し、$a>\sqrt3$ で増加する。最小値は $a=\sqrt3$ のとき $$\displaystyle S=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

接線の重解条件を判別式で処理し、x切片が負と確認してQAを絶対値込みで求めた。Sの導関数の符号変化は定義域a>1で一度だけである。