3愛媛大学 2003年 数学 第3問解答・解説

曲線上では $\displaystyle x\ge\frac12$. 距離の二乗は $D^2=(x-6)^2+(\sqrt{2x-1})^2=x^2-10x+35=(x-5)^2+10$ したがって $\boxed{P=(5,3)}$,　$\boxed{AP=\sqrt{10}}$.

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}},\quad f'(5)=\frac13$ よって接線は $\displaystyle \boxed{\ell:\ y-3=\frac13(x-5),\quad y=\frac{x+4}{3}}$.

$\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{(2x-1)^{3/2}}<0,\quad x>\frac12$, なので接線は曲線の上側にある。領域の境界は $\ell$ の (-4,0) から P=(5,3)、曲線に沿って ($\displaystyle \tfrac12$,0)、x軸に沿って (-4,0) へ戻る。概形と領域を以下に示す。

$\displaystyle S=\int_{-4}^{5}\frac{x+4}{3}\,dx-\int_{1/2}^{5}\sqrt{2x-1}\,dx=\frac{27}{2}-\left[\frac{(2x-1)^{3/2}}{3}\right]_{1/2}^{5}=\frac92$

曲線上ではx≧1/2。点(x,√(2x−1))からA(6,0)までの距離の二乗はD²=(x−6)²+2x−1=x²−10x+35であり、これはx=5で最小となる。したがってP=(5,3)、AP=√10。f′(x)=1/√(2x−1)なのでf′(5)=1/3、接線はy−3=(x−5)/3、すなわちy=(x+4)/3。f″(x)=−(2x−1)^(−3/2)<0より接線は曲線の上側にあり、閉領域の境界は接線のx切片(−4,0)からP、曲線に沿って(1/2,0)、x軸上を(−4,0)に戻る。図示はこの3曲線と点を明記する。面積は接線とx軸の三角形から曲線下の面積を引いて、(1/2)·9·3−∫_(1/2)^5√(2x−1)dx=27/2−9=9/2。