2三重大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=\cos^2t$ とおけば $0\le u\le1$ であり，原点からの距離の二乗は $$\displaystyle x^2+y^2=\cos^2t+4\sin^2t\cos^2t =5u-4u^2=\frac{25}{16}-4\left(u-\frac58\right)^2.$$ $u=5/8$ は実現するので，距離の最大値は $\boxed{5/4}$。

(2) $0\le t\le\pi$ では $\sin t\ge0$ だから $$\boxed{y=2x\sqrt{1-x^2},\qquad -1\le x\le1}.$$ この関数は奇関数で，$(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通る。内部で微分すると $$\displaystyle y'=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}.$$ 従って増減は次のようになる。 $$\begin{array}{c|ccc} x\text{ の範囲}&-1\le x\le-1/\sqrt2&-1/\sqrt2\le x\le1/\sqrt2&1/\sqrt2\le x\le1\\\hline y&\text{減少}&\text{増加}&\text{減少} \end{array}$$ 極小点は $(-1/\sqrt2,-1)$，極大点は $(1/\sqrt2,1)$。図左がこのグラフであり，時刻の増加とともに右端から左端へ進む。

(3) $\pi\le t\le2\pi$ では $\sin t\le0$ なので $y=-2x\sqrt{1-x^2}$。 従って全軌跡は(2)のグラフとその $x$ 軸対称のグラフからなり，左右に合同な閉領域ができる。 右側 $0\le x\le1$ での上下の差は $4x\sqrt{1-x^2}$ だから，全体の面積は $$\displaystyle S=2\int_0^1 4x\sqrt{1-x^2}\,dx =8\left[-\frac{(1-x^2)^{3/2}}3\right]_0^1 =\boxed{\frac83}.$$