1三重大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $r=\log_a b$ とおくと、定義から $a^r=b$ である。両辺の $c$ を底とする対数をとれば $$\log_c b=\log_c(a^r)=r\log_c a.$$ $a\ne1$ かつ $c>0$、$c\ne1$ なので $\log_c a\ne0$ である。よって両辺を $\log_c a$ で割り、 $$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$ を得る。

(2) 対数の真数が正である必要がある。$\displaystyle x^4-x^2+2=(x^2-\frac12)^2+\frac74>0$ は常に成り立ち、残る条件は $2x^2-1>0$、すなわち $\displaystyle x^2>\frac12$ である。この範囲で $\displaystyle \log_9 u=\frac12\log_3 u$ を用いると、与えられた不等式は $$\displaystyle \log_3\frac{(2x^2-1)^2}{x^4-x^2+2}\le1$$ と同値である。底 $3$ は $1$ より大きく、分母も正なので、これは $$(2x^2-1)^2\le3(x^4-x^2+2)$$ と同値。$t=x^2$ とおくと $$t^2-t-5\le0.$$ この二次式の根は $\displaystyle \frac{1-\sqrt{21}}2<0$ と $\displaystyle \frac{1+\sqrt{21}}2$ である。さらに $\displaystyle t>\frac12$ だから $$\displaystyle \frac12<t\le\frac{1+\sqrt{21}}2.$$ したがって不等式の解は $$\displaystyle -\sqrt{\frac{1+\sqrt{21}}2}\le x<-\frac1{\sqrt2} \quad\text{または}\quad \frac1{\sqrt2}<x\le\sqrt{\frac{1+\sqrt{21}}2}.$$ よって最小値は $$\displaystyle \alpha=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{21}}2}.$$

(3) $\displaystyle s=\alpha^2=\frac{1+\sqrt{21}}2$ とおくと、$s^2-s-5=0$ なので $s(1-s)=-5$ である。したがって $$\displaystyle \frac1{\alpha^2}+\frac1{1-\alpha^2} =\frac1s+\frac1{1-s} =\frac1{s(1-s)}=-\frac15.$$ 対数の真数は $\displaystyle \frac45-(-\frac15)=1$ となるから、求める値は $$\boxed{\log_3 1=0}.$$