3三重大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) $a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=(3+2\alpha)a_n+(1+4\alpha)b_n$. これが$\beta(a_n+\alpha b_n)$に等しいためには、$\beta=3+2\alpha,\quad1+4\alpha=\alpha\beta$である。よって$2\alpha^2-\alpha-1=(2\alpha+1)(\alpha-1)=0$から$\displaystyle (\alpha,\beta)=(1,5),\quad\left(-\frac12,2\right)$. (2) $\displaystyle U_n=a_n+b_n,\quad V_n=a_n-\frac12b_n$とおくと、(1)より$U_{n+1}=5U_n,\quad V_{n+1}=2V_n$であり、$\displaystyle U_1=4,\quad V_1=-\frac12$.したがって$U_n=4\cdot5^{n-1},\quad V_n=-2^{n-2}$.また$\displaystyle a_n=\frac{U_n+2V_n}{3},\quad b_n=\frac{2(U_n-V_n)}3$なので$\displaystyle a_n=\frac{4\cdot5^{n-1}-2^{n-1}}3,\quad b_n=\frac{8\cdot5^{n-1}+2^{n-1}}3$.これらを初項から第n項まで足すと$\displaystyle S_n=\frac13\left(4\frac{5^n-1}{5-1}-\frac{2^n-1}{2-1}\right)=\frac{5^n-2^n}{3},\quad T_n=\frac13\left(8\frac{5^n-1}{5-1}+\frac{2^n-1}{2-1}\right)=\frac{2\cdot5^n+2^n-3}{3}$. (3) $n\ge1$で$T_n-2S_n=2^n-1>0$だから$x=2$は条件を満たす。一方、$n=2$では$S_2=7,\quad T_2=17<21=3S_2$なので$x\ge3$は条件を満たさない。ゆえに最大値は$\boxed{2}$.