2広島大学 2006年 数学 第2問解答・解説

(1) 定義と漸化式から， $$\begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+2}+a_{n+1}\\ &=a_{n+1}+2a_n+a_{n+1}\\ &=2(a_{n+1}+a_n)=2b_n. \end{aligned}$$ また，$b_1=a_2+a_1=3$ である。よって $\{b_n\}$ は初項 $3$，公比 $2$ の等比数列であり，$b_n=3\cdot2^{n-1}$ である。

(2) $n\geq2$ のとき，等比数列の和より $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k &=3\sum\limits _{k=1}^{n-1}(-2)^{k-1}\\ &=3\frac{1-(-2)^{n-1}}{1-(-2)}\\ &=1-(-2)^{n-1}. \end{aligned}$$

(3) $n\geq2$ として交代和を展開する。添字をずらすと $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k &=\sum\limits _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}(a_{k+1}+a_k)\\ &=\sum\limits _{j=2}^{n}(-1)^{j-2}a_j+\sum\limits _{j=1}^{n-1}(-1)^{j-1}a_j\\ &=a_1+(-1)^{n-2}a_n. \end{aligned}$$ これと(2)，$a_1=2$ より， $$\begin{aligned} 2+(-1)^{n-2}a_n&=1-(-2)^{n-1},\\ a_n&=(-1)^{n-2}\{-1-(-2)^{n-1}\}\\ &=2^{n-1}+(-1)^{n-1}. \end{aligned}$$ この式は $n=1$ でも $a_1=2$ を与えるので，すべての $n\geq1$ で成り立つ。

(4) $n\geq1$ で $$a_{n+1}=2^n+(-1)^n\geq2^n-1\geq1$$ であるから，比は定義される。(3) より $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{a_n}{a_{n+1}} &=\frac{2^{n-1}+(-1)^{n-1}}{2^n+(-1)^n}\\ &=\frac12\frac{1+(-1/2)^{n-1}}{1+(-1/2)^n}. \end{aligned}$$ ここで，公比 $-1/2$ の等比数列の項は $0$ に収束する。したがって分子と分母の分数部分はともに $1$ に収束し， $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac12$$ である。