1広島大学 2006年 数学 第1問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

(1) $A^2,A^3$ $A$ は全成分が1である。積の各成分は「1を3個足した値」なので、全成分が3となる。さらに $A^3=A^2A$ の各成分は「3を3個足した値」なので $$\boxed{A^2=3A=\begin{pmatrix}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{pmatrix}},\qquad \boxed{A^3=9A=\begin{pmatrix}9&9&9\\9&9&9\\9&9&9\end{pmatrix}}.$$

(2) 正の $x$ $B=xA-E$ と置く。$AE=EA=A$ であることは成分で確かめられる。従って $$B^2=(3x^2-2x)A+E,\qquad B^3=(9x^3-9x^2+3x)A-E.$$ $B^3=B$ は $$(9x^3-9x^2+2x)A=0.$$ $A$ は零行列でないので $x(9x^2-9x+2)=0$。因数分解すると $x(3x-1)(3x-2)=0$ であり、正の解は $$\displaystyle \boxed{x=\frac13,\frac23}.$$

(3) べきの係数 最小の正解 $x_0=1/3$ に対し $B=A/3-E$。上の二乗式から $B^2=-B$。よって $B^{n+1}=-B^n$ で、$n\ge1$ について奇数では $B^n=B$、偶数では $B^n=-B$（この交替はこの等式の反復で証明できる）。従って 奇数 $n$ では $(p_n,q_n)=(1/3,-1)$、偶数 $n$ では $(p_n,q_n)=(-1/3,1)$。自然数に $0$ を含める約束なら、$n=0$ は単位行列 $E=0A+1E$ だから $(p_0,q_0)=(0,1)$。

単元・方法・テーマ 単元：数学C「行列とその応用」。方法：行列積の成分ごとの積和、$A^2=3A$ を用いた積の整理、漸化式 $B^{n+1}=-B^n$ の帰納。テーマ：全成分一定行列の積と行列のべき。