5広島大学 2006年 数学 第5問解答・解説

定義域は $x\ne\pm1$ である。また $$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-1},\qquad f'(x)=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}.$$ 分母は定義域上で正であり、(f'(x)) の符号は (x^2-3) の符号で決まる（(x=0) では (f'(0)=0)）。従って増減は次の通り。 $$\begin{array}{c|ccccc} x&x<-\sqrt3&-\sqrt3<x<-1&-1<x<1&1<x<\sqrt3&x>\sqrt3\\ \hline f&\nearrow&\searrow&\searrow&\searrow&\nearrow \end{array}$$ (x=0) では接線が水平だが、増減は変わらない。極大値は (f(-$\sqrt3$)=-3$\sqrt3$/2)、極小値は (f($\sqrt3$)=3$\sqrt3$/2) である。(f(0)=0)、(f) は奇関数であり、(x=$\pm$1) は垂直漸近線、(f(x)-x=x/(x^2-1)$\to$0)（(x$\to$$\pm$$\infty$)）より斜漸近線は (y=x) である。端での極限は $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-1^-}f(x)=-\infty,\quad\lim\limits _{x\to-1^+}f(x)=+\infty, \quad\lim\limits _{x\to1^-}f(x)=-\infty,\quad\lim\limits _{x\to1^+}f(x)=+\infty.$$ これらの増減・漸近線・原点をもとに各枝を描く。

(2) (x=0) は常に交点である。$x\ne0$ かつ $m\ne1$ では $$\displaystyle f(x)=mx\quad\text{すなわち}\quad\frac{x^2}{x^2-1}=m\quad\text{すなわち}\quad x^2=\frac{m}{m-1}.$$ 右辺が正となるのは (m<0) または (m>1) のときに限る。そのとき (x=$\pm$$\sqrt{m/(m-1)}$) は定義域内にあり、原点以外に2個の交点がある。(m=0) ではこの式から (x$\ne$0) の解はなく、(0<m<1) では右辺が負、(m=1) では方程式に解がなく、いずれも交点は原点だけである。従って求める範囲は $$\boxed{m<0\quad\text{または}\quad m>1}.$$

(3) (m<0) とおき、(c=$\sqrt{m/(m-1)}$) とすると (0<c<1) で、交点は (-c,0,c) である。(f) と (y=mx) はともに奇関数なので二つの部分の面積は等しい。(0<x<c) では直線が曲線より上ではなく、実際 (f(x)-mx>0)（下の式からも確認できる）であるから、面積の和 (S) は $$\displaystyle S=2\int_0^c\{f(x)-mx\}\,dx =2\left[\frac{1-m}{2}x^2+\frac12\ln(1-x^2)\right]_0^c.$$ ここで (m=c^2/(c^2-1)) より (1-m=1/(1-c^2))、また (1-c^2=1/(1-m)) である。従って $$\displaystyle S=\frac{c^2}{1-c^2}+\ln(1-c^2) =-m-\ln(1-m).$$ よって面積の和は $$\boxed{-m-\ln(1-m)}\qquad(m<0).$$ (t=-m>0) とすればこれは (t-$\ln$(1+t)>0) であり、面積の正値とも一致する。